Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{x^{101} + 9^{x} - e^{\sqrt{x}}}{2 \cdot 9^{x} - 10^{6} \sin (x) + x^{25}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x^{101} + 9^{x} - e^{\sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \cdot 9^{x} - 10^{6} \sin (x) + x^{25}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x^{101} + lim_{x \to 8} 9^{x} - lim_{x \to 8} e^{\sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \cdot 9^{x} - 10^{6} \sin (x) + x^{25}}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $101$ de $x^{101}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{101} + lim_{x \to 8} 9^{x} - lim_{x \to 8} e^{\sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \cdot 9^{x} - 10^{6} \sin (x) + x^{25}}$

Étape 4

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{101} + 9^{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} e^{\sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \cdot 9^{x} - 10^{6} \sin (x) + x^{25}}$

Étape 5

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{101} + 9^{lim_{x \to 8} x} - e^{lim_{x \to 8} \sqrt{x}}}{lim_{x \to 8} 2 \cdot 9^{x} - 10^{6} \sin (x) + x^{25}}$

Étape 6

Placez la limite sous le radical.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{101} + 9^{lim_{x \to 8} x} - e^{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{lim_{x \to 8} 2 \cdot 9^{x} - 10^{6} \sin (x) + x^{25}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{101} + 9^{lim_{x \to 8} x} - e^{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{lim_{x \to 8} 2 \cdot 9^{x} - lim_{x \to 8} 10^{6} \sin (x) + lim_{x \to 8} x^{25}}$

Étape 8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{101} + 9^{lim_{x \to 8} x} - e^{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{2 lim_{x \to 8} 9^{x} - lim_{x \to 8} 10^{6} \sin (x) + lim_{x \to 8} x^{25}}$

Étape 9

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{101} + 9^{lim_{x \to 8} x} - e^{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{2 \cdot 9^{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 10^{6} \sin (x) + lim_{x \to 8} x^{25}}$

Étape 10

Placez le terme $10^{6}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{101} + 9^{lim_{x \to 8} x} - e^{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{2 \cdot 9^{lim_{x \to 8} x} - 10^{6} lim_{x \to 8} \sin (x) + lim_{x \to 8} x^{25}}$

Étape 11

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{101} + 9^{lim_{x \to 8} x} - e^{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{2 \cdot 9^{lim_{x \to 8} x} - 10^{6} \sin (lim_{x \to 8} x) + lim_{x \to 8} x^{25}}$

Étape 12

Déplacez l’exposant $25$ de $x^{25}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{101} + 9^{lim_{x \to 8} x} - e^{\sqrt{lim_{x \to 8} x}}}{2 \cdot 9^{lim_{x \to 8} x} - 10^{6} \sin (lim_{x \to 8} x) + {(lim_{x \to 8} x)}^{25}}$

Étape 13

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 13.1