Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 8} {(\frac{1 - x^{4}}{x^{2} + 6 x})}^{5}$

Étape 1

Déplacez l’exposant $5$ de ${(\frac{1 - x^{4}}{x^{2} + 6 x})}^{5}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{x \to - 8} \frac{1 - x^{4}}{x^{2} + 6 x})}^{5}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

${(\frac{lim_{x \to - 8} 1 - x^{4}}{lim_{x \to - 8} x^{2} + 6 x})}^{5}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

${(\frac{lim_{x \to - 8} 1 - lim_{x \to - 8} x^{4}}{lim_{x \to - 8} x^{2} + 6 x})}^{5}$

Étape 4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 8$ .

${(\frac{1 - lim_{x \to - 8} x^{4}}{lim_{x \to - 8} x^{2} + 6 x})}^{5}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(\frac{1 - {(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{lim_{x \to - 8} x^{2} + 6 x})}^{5}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

${(\frac{1 - {(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{lim_{x \to - 8} x^{2} + lim_{x \to - 8} 6 x})}^{5}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(\frac{1 - {(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + lim_{x \to - 8} 6 x})}^{5}$

Étape 8

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

${(\frac{1 - {(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 8} x})}^{5}$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $- 8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

${(\frac{1 - {(- 8)}^{4}}{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 8} x})}^{5}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

${(\frac{1 - {(- 8)}^{4}}{{(- 8)}^{2} + 6 lim_{x \to - 8} x})}^{5}$

Étape 9.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

${(\frac{1 - {(- 8)}^{4}}{{(- 8)}^{2} + 6 \cdot - 8})}^{5}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $4$ .

${(\frac{1 - 1 \cdot 4096}{{(- 8)}^{2} + 6 \cdot - 8})}^{5}$

Étape 10.1.2

Multipliez $- 1$ par $4096$ .

${(\frac{1 - 4096}{{(- 8)}^{2} + 6 \cdot - 8})}^{5}$

Étape 10.1.3

Soustrayez $4096$ de $1$ .

${(\frac{- 4095}{{(- 8)}^{2} + 6 \cdot - 8})}^{5}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

${(\frac{- 4095}{64 + 6 \cdot - 8})}^{5}$

Étape 10.2.2

Multipliez $6$ par $- 8$ .

${(\frac{- 4095}{64 - 48})}^{5}$

Étape 10.2.3

Soustrayez $48$ de $64$ .

${(\frac{- 4095}{16})}^{5}$

Étape 10.3

Placez le signe moins devant la fraction.

${(- \frac{4095}{16})}^{5}$

Étape 10.4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 10.4.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{4095}{16}$ .

${(- 1)}^{5} {(\frac{4095}{16})}^{5}$

Étape 10.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{4095}{16}$ .

${(- 1)}^{5} \frac{4095^{5}}{16^{5}}$

Étape 10.5

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$- \frac{4095^{5}}{16^{5}}$

Étape 10.6

Élevez $4095$ à la puissance $5$ .

$- \frac{1151514816750310000}{16^{5}}$

Étape 10.7

Élevez $16$ à la puissance $5$ .

$- \frac{1151514816750310000}{1048576}$

Étape 10.8

Annulez le facteur commun à $1151514816750310000$ et $1048576$ .

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Étape 10.8.1

Factorisez $16$ à partir de $1151514816750310000$ .

$- \frac{16 (71969676046894375)}{1048576}$

Étape 10.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.8.2.1

Factorisez $16$ à partir de $1048576$ .

$- \frac{16 \cdot 71969676046894375}{16 \cdot 65536}$

Étape 10.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{16 \cdot 71969676046894375}{16 \cdot 65536}$

Étape 10.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{71969676046894375}{65536}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{71969676046894375}{65536}$

Forme décimale :

$- 1098170105696.02$