Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{e^{x} - \cos^{2} (x)}{x}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} e^{x} - \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 8} x}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} e^{x} - lim_{x \to 8} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 8} x}$

Étape 3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{e^{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 8} x}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{e^{lim_{x \to 8} x} - {(lim_{x \to 8} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 8} x}$

Étape 5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{e^{lim_{x \to 8} x} - \cos^{2} (lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x}$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{e^{8} - \cos^{2} (lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} x}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{e^{8} - \cos^{2} (8)}{lim_{x \to 8} x}$

Étape 6.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{e^{8} - \cos^{2} (8)}{8}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Réécrivez $e^{8}$ comme ${(e^{4})}^{2}$ .

$\frac{{(e^{4})}^{2} - \cos^{2} (8)}{8}$

Étape 7.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e^{4}$ et $b = \cos (8)$ .

$\frac{(e^{4} + \cos (8)) (e^{4} - \cos (8))}{8}$

Étape 7.1.3

Simplifiez

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Étape 7.1.3.1

Évaluez $\cos (8)$ .

$\frac{(e^{4} + 0.99026806) (e^{4} - \cos (8))}{8}$

Étape 7.1.3.2

Additionnez $e^{4}$ et $0.99026806$ .

$\frac{55.5884181 (e^{4} - \cos (8))}{8}$

Étape 7.1.3.3

Évaluez $\cos (8)$ .

$\frac{55.5884181 (e^{4} - 1 \cdot 0.99026806)}{8}$

Étape 7.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $0.99026806$ .

$\frac{55.5884181 (e^{4} - 0.99026806)}{8}$

Étape 7.1.3.5

Soustrayez $0.99026806$ de $e^{4}$ .

$\frac{55.5884181 \cdot 53.60788196}{8}$

Étape 7.2

Multipliez $55.5884181$ par $53.60788196$ .

$\frac{2979.97735619}{8}$

Étape 7.3

Divisez $2979.97735619$ par $8$ .

$372.49716952$