Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} {(\frac{20 x}{20 x + 5})}^{5 x}$

Étape 1

Annulez le facteur commun à $20$ et $20 x + 5$ .

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Étape 1.1

Factorisez $5$ à partir de $20 x$ .

$lim_{x \to 8} {(\frac{5 (4 x)}{20 x + 5})}^{5 x}$

Étape 1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.1

Factorisez $5$ à partir de $20 x$ .

$lim_{x \to 8} {(\frac{5 (4 x)}{5 (4 x) + 5})}^{5 x}$

Étape 1.2.2

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$lim_{x \to 8} {(\frac{5 (4 x)}{5 (4 x) + 5 (1)})}^{5 x}$

Étape 1.2.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (4 x) + 5 (1)$ .

$lim_{x \to 8} {(\frac{5 (4 x)}{5 (4 x + 1)})}^{5 x}$

Étape 1.2.4

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 8} {(\frac{5 (4 x)}{5 (4 x + 1)})}^{5 x}$

Étape 1.2.5

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 8} {(\frac{4 x}{4 x + 1})}^{5 x}$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(\frac{4 x}{4 x + 1})}^{5 x}$ comme $e^{\ln ({(\frac{4 x}{4 x + 1})}^{5 x})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{4 x}{4 x + 1})}^{5 x})}$

Étape 2.2

Développez $\ln ({(\frac{4 x}{4 x + 1})}^{5 x})$ en déplaçant $5 x$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 8} e^{5 x \ln (\frac{4 x}{4 x + 1})}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 8} 5 x \ln (\frac{4 x}{4 x + 1})}$

Étape 3.2

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{5 lim_{x \to 8} x \ln (\frac{4 x}{4 x + 1})}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{4 x}{4 x + 1})}$

Étape 3.4

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{4 x}{4 x + 1})}$

Étape 3.5

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (4 lim_{x \to 8} \frac{x}{4 x + 1})}$

Étape 3.6

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (4 \frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} 4 x + 1})}$

Étape 3.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (4 \frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} 4 x + lim_{x \to 8} 1})}$

Étape 3.8

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (4 \frac{lim_{x \to 8} x}{4 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1})}$

Étape 3.9

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{5 lim_{x \to 8} x \cdot \ln (4 \frac{lim_{x \to 8} x}{4 lim_{x \to 8} x + 1})}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$e^{5 \cdot 8 \cdot \ln (4 \frac{lim_{x \to 8} x}{4 lim_{x \to 8} x + 1})}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$e^{5 \cdot 8 \cdot \ln (4 \frac{8}{4 lim_{x \to 8} x + 1})}$

Étape 4.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$e^{5 \cdot 8 \cdot \ln (4 \frac{8}{4 \cdot 8 + 1})}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Multipliez $5$ par $8$ .

$e^{40 \cdot \ln (4 \frac{8}{4 \cdot 8 + 1})}$

Étape 5.2

Simplifiez $40 \cdot \ln (4 \frac{8}{4 \cdot 8 + 1})$ en déplaçant $40$ dans le logarithme.

$e^{\ln ({(4 \frac{8}{4 \cdot 8 + 1})}^{40})}$

Étape 5.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

${(4 \frac{8}{4 \cdot 8 + 1})}^{40}$

Étape 5.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.4.1

Multipliez $4$ par $8$ .

${(4 \frac{8}{32 + 1})}^{40}$

Étape 5.4.2

Additionnez $32$ et $1$ .

${(4 (\frac{8}{33}))}^{40}$

Étape 5.5

Multipliez $4 (\frac{8}{33})$ .

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Étape 5.5.1

Associez $4$ et $\frac{8}{33}$ .

${(\frac{4 \cdot 8}{33})}^{40}$

Étape 5.5.2

Multipliez $4$ par $8$ .

${(\frac{32}{33})}^{40}$

Étape 5.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{32}{33}$ .

$\frac{32^{40}}{33^{40}}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{32^{40}}{33^{40}}$

Forme décimale :

$0.29203946 \dots$