Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} 729 - 729 \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$

Étape 1

Évaluez la limite de $729 - 729 \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$729 - 729 \frac{2 n^{3} + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$

Étape 2

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $n$ à partir de $2 n^{3} + 3 n^{2} + n$ .

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Étape 2.1.1.1.1

Factorisez $n$ à partir de $2 n^{3}$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + 3 n^{2} + n}{6 n^{3}}$

Étape 2.1.1.1.2

Factorisez $n$ à partir de $3 n^{2}$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + n (3 n) + n}{6 n^{3}}$

Étape 2.1.1.1.3

Élevez $n$ à la puissance $1$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + n (3 n) + n^{1}}{6 n^{3}}$

Étape 2.1.1.1.4

Factorisez $n$ à partir de $n^{1}$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2}) + n (3 n) + n \cdot 1}{6 n^{3}}$

Étape 2.1.1.1.5

Factorisez $n$ à partir de $n (2 n^{2}) + n (3 n)$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 3 n) + n \cdot 1}{6 n^{3}}$

Étape 2.1.1.1.6

Factorisez $n$ à partir de $n (2 n^{2} + 3 n) + n \cdot 1$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 3 n + 1)}{6 n^{3}}$

Étape 2.1.1.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.1.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 2.1.1.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 n$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 3 (n) + 1)}{6 n^{3}}$

Étape 2.1.1.2.1.2

Réécrivez $3$ comme $1$ plus $2$

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + (1 + 2) n + 1)}{6 n^{3}}$

Étape 2.1.1.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + 1 n + 2 n + 1)}{6 n^{3}}$

Étape 2.1.1.2.1.4

Multipliez $n$ par $1$ .

$729 - 729 \frac{n (2 n^{2} + n + 2 n + 1)}{6 n^{3}}$

Étape 2.1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.1.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$729 - 729 \frac{n ((2 n^{2} + n) + 2 n + 1)}{6 n^{3}}$

Étape 2.1.1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$729 - 729 \frac{n (n (2 n + 1) + 1 (2 n + 1))}{6 n^{3}}$

Étape 2.1.1.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 n + 1$ .

$729 - 729 \frac{n ((2 n + 1) (n + 1))}{6 n^{3}}$

$729 - 729 \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{6 n^{3}}$

Étape 2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 729$ .

$729 + 3 (- 243) \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{6 n^{3}}$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $6 n^{3}$ .

$729 + 3 (- 243) \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{3 (2 n^{3})}$

Étape 2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$729 + 3 \cdot - 243 \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{3 (2 n^{3})}$

Étape 2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$729 - 243 \frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{3}}$

Étape 2.1.3

Associez $- 243$ et $\frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{3}}$ .

$729 + \frac{- 243 (n (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{3}}$

Étape 2.1.4

Annulez le facteur commun à $n$ et $n^{3}$ .

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Étape 2.1.4.1

Factorisez $n$ à partir de $- 243 (n (2 n + 1) (n + 1))$ .

$729 + \frac{n (- 243 ((2 n + 1) (n + 1)))}{2 n^{3}}$

Étape 2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.4.2.1

Factorisez $n$ à partir de $2 n^{3}$ .

$729 + \frac{n (- 243 ((2 n + 1) (n + 1)))}{n (2 n^{2})}$

Étape 2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$729 + \frac{n (- 243 ((2 n + 1) (n + 1)))}{n (2 n^{2})}$

Étape 2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$729 + \frac{- 243 ((2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Étape 2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$729 - \frac{243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Étape 2.2

Pour écrire $729$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 n^{2}}{2 n^{2}}$ .

$729 \cdot \frac{2 n^{2}}{2 n^{2}} - \frac{243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Étape 2.3

Associez $729$ et $\frac{2 n^{2}}{2 n^{2}}$ .

$\frac{729 (2 n^{2})}{2 n^{2}} - \frac{243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{729 (2 n^{2}) - 243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Factorisez $243$ à partir de $729 \cdot 2 n^{2} - 243 (2 n + 1) (n + 1)$ .

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Étape 2.5.1.1

Factorisez $243$ à partir de $729 \cdot 2 n^{2}$ .

$\frac{243 (3 \cdot 2 n^{2}) - 243 (2 n + 1) (n + 1)}{2 n^{2}}$

Étape 2.5.1.2

Factorisez $243$ à partir de $- 243 (2 n + 1) (n + 1)$ .

$\frac{243 (3 \cdot 2 n^{2}) + 243 (- (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Étape 2.5.1.3

Factorisez $243$ à partir de $243 (3 \cdot 2 n^{2}) + 243 (- (2 n + 1) (n + 1))$ .

$\frac{243 (3 \cdot 2 n^{2} - (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Étape 2.5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - (2 n + 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Étape 2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{243 (6 n^{2} + (- (2 n) - 1 \cdot 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Étape 2.5.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{243 (6 n^{2} + (- 2 n - 1 \cdot 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Étape 2.5.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{243 (6 n^{2} + (- 2 n - 1) (n + 1))}{2 n^{2}}$

Étape 2.5.6

Développez $(- 2 n - 1) (n + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.5.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n (n + 1) - 1 (n + 1))}{2 n^{2}}$

Étape 2.5.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n \cdot n - 2 n \cdot 1 - 1 (n + 1))}{2 n^{2}}$

Étape 2.5.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n \cdot n - 2 n \cdot 1 - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Étape 2.5.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.5.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.7.1.1

Multipliez $n$ par $n$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.5.7.1.1.1

Déplacez $n$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 (n \cdot n) - 2 n \cdot 1 - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Étape 2.5.7.1.1.2

Multipliez $n$ par $n$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n \cdot 1 - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Étape 2.5.7.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n - 1 n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Étape 2.5.7.1.3

Réécrivez $- 1 n$ comme $- n$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n - n - 1 \cdot 1)}{2 n^{2}}$

Étape 2.5.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 2 n - n - 1)}{2 n^{2}}$

Étape 2.5.7.2

Soustrayez $n$ de $- 2 n$ .

$\frac{243 (6 n^{2} - 2 n^{2} - 3 n - 1)}{2 n^{2}}$

Étape 2.5.8

Soustrayez $2 n^{2}$ de $6 n^{2}$ .

$\frac{243 (4 n^{2} - 3 n - 1)}{2 n^{2}}$

Étape 2.5.9

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.5.9.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ et dont la somme est $b = - 3$ .

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Étape 2.5.9.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 n$ .

$\frac{243 (4 n^{2} - 3 (n) - 1)}{2 n^{2}}$

Étape 2.5.9.1.2

Réécrivez $- 3$ comme $1$ plus $- 4$

$\frac{243 (4 n^{2} + (1 - 4) n - 1)}{2 n^{2}}$

Étape 2.5.9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{243 (4 n^{2} + 1 n - 4 n - 1)}{2 n^{2}}$

Étape 2.5.9.1.4

Multipliez $n$ par $1$ .

$\frac{243 (4 n^{2} + n - 4 n - 1)}{2 n^{2}}$

Étape 2.5.9.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.5.9.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{243 ((4 n^{2} + n) - 4 n - 1)}{2 n^{2}}$

Étape 2.5.9.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{243 (n (4 n + 1) - (4 n + 1))}{2 n^{2}}$

Étape 2.5.9.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 n + 1$ .

$\frac{243 ((4 n + 1) (n - 1))}{2 n^{2}}$

$\frac{243 (4 n + 1) (n - 1)}{2 n^{2}}$