Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \ln ({(x + 1)}^{x}) - \ln ({(x)}^{x})$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$lim_{x \to 8} \ln ({(x + 1)}^{x}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Étape 1.2

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\ln (lim_{x \to 8} {(x + 1)}^{x}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(x + 1)}^{x}$ comme $e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}$ .

$\ln (lim_{x \to 8} e^{\ln ({(x + 1)}^{x})}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Étape 2.2

Développez $\ln ({(x + 1)}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\ln (lim_{x \to 8} e^{x \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez la limite dans l’exposant.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Étape 3.3

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Étape 3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - lim_{x \to 8} \ln ({(x)}^{x})$

Étape 3.6

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} {(x)}^{x})$

Étape 4

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 4.1

Réécrivez ${(x)}^{x}$ comme $e^{\ln ({(x)}^{x})}$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} e^{\ln ({(x)}^{x})})$

Étape 4.2

Développez $\ln ({(x)}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (lim_{x \to 8} e^{x \ln (x)})$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Placez la limite dans l’exposant.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \ln (x)})$

Étape 5.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)})$

Étape 5.3

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (lim_{x \to 8} x + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Étape 6.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{8 \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)})$

Étape 6.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}) - \ln (e^{8 \cdot \ln (8)})$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}}{e^{8 \cdot \ln (8)}})$

Étape 7.2

Placez $e^{8 \cdot \ln (8)}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1)} e^{- 8 \cdot \ln (8)})$

Étape 7.3

Multipliez $e^{8 \cdot \ln (8 + 1)}$ par $e^{- 8 \cdot \ln (8)}$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (e^{8 \cdot \ln (8 + 1) - 8 \cdot \ln (8)})$

Étape 7.3.2

Additionnez $8$ et $1$ .

$\ln (e^{8 \cdot \ln (9) - 8 \cdot \ln (8)})$

Étape 7.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.3.1

Simplifiez $8 \ln (9)$ en déplaçant $8$ dans le logarithme.

$\ln (e^{\ln (9^{8}) - 8 \cdot \ln (8)})$

Étape 7.3.3.2

Élevez $9$ à la puissance $8$ .

$\ln (e^{\ln (43046721) - 8 \cdot \ln (8)})$

Étape 7.3.3.3

Simplifiez $- 8 \ln (8)$ en déplaçant $8$ dans le logarithme.

$\ln (e^{\ln (43046721) - \ln (8^{8})})$

Étape 7.3.3.4

Élevez $8$ à la puissance $8$ .

$\ln (e^{\ln (43046721) - \ln (16777216)})$

Étape 7.3.4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (e^{\ln (\frac{43046721}{16777216})})$

Étape 7.4

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $\ln (\frac{43046721}{16777216})$ de l’exposant.

$\ln (\frac{43046721}{16777216}) \ln (e)$

Étape 7.5

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (\frac{43046721}{16777216}) \cdot 1$

Étape 7.6

Multipliez $\ln (\frac{43046721}{16777216})$ par $1$ .

$\ln (\frac{43046721}{16777216})$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\ln (\frac{43046721}{16777216})$

Forme décimale :

$0.94226428 \dots$