Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{8 x + 3 x - 3}{\sqrt{4 x^{2}} + x^{2} + x - 2}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 8 x + 3 x - 3}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2}} + x^{2} + x - 2}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 8 x + lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2}} + x^{2} + x - 2}$

Étape 3

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2}} + x^{2} + x - 2}$

Étape 4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 3}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2}} + x^{2} + x - 2}$

Étape 5

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{8 lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2}} + x^{2} + x - 2}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{8 lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{lim_{x \to 8} \sqrt{4 x^{2}} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2}$

Étape 7

Placez la limite sous le radical.

$\frac{8 lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{\sqrt{lim_{x \to 8} 4 x^{2}} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2}$

Étape 8

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 lim_{x \to 8} x^{2}} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{8 lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2}$

Étape 10

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{8 lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2}$

Étape 11

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{8 lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8 \cdot 8 + 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}$

Étape 12.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 \cdot 8^{2}} + {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}$

Étape 12.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 \cdot 8^{2}} + 8^{2} + lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2}$

Étape 12.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 \cdot 8^{2}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

$\frac{8 \cdot 8 + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 \cdot 8^{2}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1

Multipliez $8$ par $8$ .

$\frac{64 + 3 \cdot 8 - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 \cdot 8^{2}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Étape 13.1.2

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{64 + 24 - 1 \cdot 3}{\sqrt{4 \cdot 8^{2}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Étape 13.1.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{64 + 24 - 3}{\sqrt{4 \cdot 8^{2}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Étape 13.1.4

Additionnez $64$ et $24$ .

$\frac{88 - 3}{\sqrt{4 \cdot 8^{2}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Étape 13.1.5

Soustrayez $3$ de $88$ .

$\frac{85}{\sqrt{4 \cdot 8^{2}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

$\frac{85}{\sqrt{4 \cdot 8^{2}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{85}{\sqrt{2^{2} \cdot 8^{2}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Étape 13.2.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{85}{\sqrt{2^{2} \cdot {(2^{3})}^{2}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Étape 13.2.3

Multipliez les exposants dans ${(2^{3})}^{2}$ .

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Étape 13.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{85}{\sqrt{2^{2} \cdot 2^{3 \cdot 2}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Étape 13.2.3.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{85}{\sqrt{2^{2} \cdot 2^{6}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

$\frac{85}{\sqrt{2^{2} \cdot 2^{6}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Étape 13.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{85}{\sqrt{2^{2 + 6}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Étape 13.2.5

Additionnez $2$ et $6$ .

$\frac{85}{\sqrt{2^{8}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Étape 13.2.6

Élevez $2$ à la puissance $8$ .

$\frac{85}{\sqrt{256} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Étape 13.2.7

Réécrivez $256$ comme $16^{2}$ .

$\frac{85}{\sqrt{16^{2}} + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Étape 13.2.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{85}{16 + 8^{2} + 8 - 1 \cdot 2}$

Étape 13.2.9

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{85}{16 + 64 + 8 - 1 \cdot 2}$

Étape 13.2.10

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{85}{16 + 64 + 8 - 2}$

Étape 13.2.11

Additionnez $16$ et $64$ .

$\frac{85}{80 + 8 - 2}$

Étape 13.2.12

Additionnez $80$ et $8$ .

$\frac{85}{88 - 2}$

Étape 13.2.13

Soustrayez $2$ de $88$ .

$\frac{85}{86}$

$\frac{85}{86}$

$\frac{85}{86}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{85}{86}$

Forme décimale :

$0.98837209 \dots$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$