Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x^{3} + 2 x^{2}} + \sqrt{3 x^{5} - x}}{x^{3} + x^{4}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3} + 2 x^{2}} + \sqrt{3 x^{5} - x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3} + 2 x^{2}} + lim_{x \to 8} \sqrt{3 x^{5} - x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

Étape 3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{3} + 2 x^{2}} + lim_{x \to 8} \sqrt{3 x^{5} - x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 2 x^{2}} + lim_{x \to 8} \sqrt{3 x^{5} - x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 2 x^{2}} + lim_{x \to 8} \sqrt{3 x^{5} - x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

Étape 6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 lim_{x \to 8} x^{2}} + lim_{x \to 8} \sqrt{3 x^{5} - x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + lim_{x \to 8} \sqrt{3 x^{5} - x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

Étape 8

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + \sqrt{lim_{x \to 8} 3 x^{5} - x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + \sqrt{lim_{x \to 8} 3 x^{5} - lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

Étape 10

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + \sqrt{3 lim_{x \to 8} x^{5} - lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

Étape 11

Déplacez l’exposant $5$ de $x^{5}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + \sqrt{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{5} - lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + x^{4}}$

Étape 12

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + \sqrt{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{5} - lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} x^{4}}$

Étape 13

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + \sqrt{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{5} - lim_{x \to 8} x}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} x^{4}}$

Étape 14

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + \sqrt{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{5} - lim_{x \to 8} x}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

Étape 15

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 15.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{3} + 2 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}} + \sqrt{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{5} - lim_{x \to 8} x}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

Étape 15.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{3} + 2 \cdot 8^{2}} + \sqrt{3 {(lim_{x \to 8} x)}^{5} - lim_{x \to 8} x}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

Étape 15.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{3} + 2 \cdot 8^{2}} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - lim_{x \to 8} x}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

Étape 15.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{3} + 2 \cdot 8^{2}} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

Étape 15.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{3} + 2 \cdot 8^{2}} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{8^{3} + {(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

Étape 15.6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{3} + 2 \cdot 8^{2}} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

Étape 16

Simplifiez la réponse.

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Étape 16.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.1.1

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{\sqrt{512 + 2 \cdot 8^{2}} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

Étape 16.1.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{512 + 2 \cdot 64} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

Étape 16.1.3

Multipliez $2$ par $64$ .

$\frac{\sqrt{512 + 128} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

Étape 16.1.4

Additionnez $512$ et $128$ .

$\frac{\sqrt{640} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

Étape 16.1.5

Réécrivez $640$ comme $8^{2} \cdot 10$ .

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Étape 16.1.5.1

Factorisez $64$ à partir de $640$ .

$\frac{\sqrt{64 (10)} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

Étape 16.1.5.2

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$\frac{\sqrt{8^{2} \cdot 10} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

Étape 16.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{8 \sqrt{10} + \sqrt{3 \cdot 8^{5} - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

Étape 16.1.7

Élevez $8$ à la puissance $5$ .

$\frac{8 \sqrt{10} + \sqrt{3 \cdot 32768 - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

Étape 16.1.8

Multipliez $3$ par $32768$ .

$\frac{8 \sqrt{10} + \sqrt{98304 - 8}}{8^{3} + 8^{4}}$

Étape 16.1.9

Soustrayez $8$ de $98304$ .

$\frac{8 \sqrt{10} + \sqrt{98296}}{8^{3} + 8^{4}}$

Étape 16.1.10

Réécrivez $98296$ comme $2^{2} \cdot 24574$ .

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Étape 16.1.10.1

Factorisez $4$ à partir de $98296$ .

$\frac{8 \sqrt{10} + \sqrt{4 (24574)}}{8^{3} + 8^{4}}$

Étape 16.1.10.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{8 \sqrt{10} + \sqrt{2^{2} \cdot 24574}}{8^{3} + 8^{4}}$

Étape 16.1.11

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{8 \sqrt{10} + 2 \sqrt{24574}}{8^{3} + 8^{4}}$

Étape 16.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 16.2.1

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{8 \sqrt{10} + 2 \sqrt{24574}}{512 + 8^{4}}$

Étape 16.2.2

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\frac{8 \sqrt{10} + 2 \sqrt{24574}}{512 + 4096}$

Étape 16.2.3

Additionnez $512$ et $4096$ .

$\frac{8 \sqrt{10} + 2 \sqrt{24574}}{4608}$

Étape 16.3

Annulez le facteur commun à $8 \sqrt{10} + 2 \sqrt{24574}$ et $4608$ .

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Étape 16.3.1

Factorisez $2$ à partir de $8 \sqrt{10}$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{10}) + 2 \sqrt{24574}}{4608}$

Étape 16.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{24574}$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{10}) + 2 (\sqrt{24574})}{4608}$

Étape 16.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 \sqrt{10}) + 2 (\sqrt{24574})$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{10} + \sqrt{24574})}{4608}$

Étape 16.3.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4608$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{10} + \sqrt{24574})}{2 (2304)}$

Étape 16.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (4 \sqrt{10} + \sqrt{24574})}{2 \cdot 2304}$

Étape 16.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \sqrt{10} + \sqrt{24574}}{2304}$

Étape 17

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{4 \sqrt{10} + \sqrt{24574}}{2304}$

Forme décimale :

$0.07352867 \dots$