Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{4 x^{2}}{\sqrt{9 x^{4} - 1}}$

Étape 1

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$4 lim_{x \to 8} \frac{x^{2}}{\sqrt{9 x^{4} - 1}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$4 \frac{lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{4} - 1}}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$4 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{4} - 1}}$

Étape 4

Placez la limite sous le radical.

$4 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{4} - 1}}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$4 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{4} - lim_{x \to 8} 1}}$

Étape 6

Placez le terme $9$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$4 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{\sqrt{9 lim_{x \to 8} x^{4} - lim_{x \to 8} 1}}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$4 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - lim_{x \to 8} 1}}$

Étape 8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$4 \frac{{(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 1 \cdot 1}}$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$4 \frac{8^{2}}{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 1 \cdot 1}}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$4 \frac{8^{2}}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$4 \frac{64}{\sqrt{9 \cdot 8^{4} - 1 \cdot 1}}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$4 \frac{64}{\sqrt{9 \cdot 4096 - 1 \cdot 1}}$

Étape 10.2.2

Multipliez $9$ par $4096$ .

$4 \frac{64}{\sqrt{36864 - 1 \cdot 1}}$

Étape 10.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 \frac{64}{\sqrt{36864 - 1}}$

Étape 10.2.4

Soustrayez $1$ de $36864$ .

$4 \frac{64}{\sqrt{36863}}$

Étape 10.3

Multipliez $\frac{64}{\sqrt{36863}}$ par $\frac{\sqrt{36863}}{\sqrt{36863}}$ .

$4 (\frac{64}{\sqrt{36863}} \cdot \frac{\sqrt{36863}}{\sqrt{36863}})$

Étape 10.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.4.1

Multipliez $\frac{64}{\sqrt{36863}}$ par $\frac{\sqrt{36863}}{\sqrt{36863}}$ .

$4 \frac{64 \sqrt{36863}}{\sqrt{36863} \sqrt{36863}}$

Étape 10.4.2

Élevez $\sqrt{36863}$ à la puissance $1$ .

$4 \frac{64 \sqrt{36863}}{{\sqrt{36863}}^{1} \sqrt{36863}}$

Étape 10.4.3

Élevez $\sqrt{36863}$ à la puissance $1$ .

$4 \frac{64 \sqrt{36863}}{{\sqrt{36863}}^{1} {\sqrt{36863}}^{1}}$

Étape 10.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \frac{64 \sqrt{36863}}{{\sqrt{36863}}^{1 + 1}}$

Étape 10.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \frac{64 \sqrt{36863}}{{\sqrt{36863}}^{2}}$

Étape 10.4.6

Réécrivez ${\sqrt{36863}}^{2}$ comme $36863$ .

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Étape 10.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{36863}$ comme $36863^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{64 \sqrt{36863}}{{(36863^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 10.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{64 \sqrt{36863}}{36863^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 10.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$4 \frac{64 \sqrt{36863}}{36863^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{64 \sqrt{36863}}{36863^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{64 \sqrt{36863}}{36863^{1}}$

Étape 10.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$4 \frac{64 \sqrt{36863}}{36863}$

Étape 10.5

Multipliez $4 \frac{64 \sqrt{36863}}{36863}$ .

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Étape 10.5.1

Associez $4$ et $\frac{64 \sqrt{36863}}{36863}$ .

$\frac{4 (64 \sqrt{36863})}{36863}$

Étape 10.5.2

Multipliez $64$ par $4$ .

$\frac{256 \sqrt{36863}}{36863}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{256 \sqrt{36863}}{36863}$

Forme décimale :

$1.33335141 \dots$