Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{(3 x - 1) \cdot (x^{2} - 4)}{{(2 x + 1)}^{2} \cdot (x - 1)}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} (3 x - 1) \cdot (x^{2} - 4)}{lim_{x \to 8} {(2 x + 1)}^{2} \cdot (x - 1)}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 3 x - 1 \cdot lim_{x \to 8} x^{2} - 4}{lim_{x \to 8} {(2 x + 1)}^{2} \cdot (x - 1)}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 1) \cdot lim_{x \to 8} x^{2} - 4}{lim_{x \to 8} {(2 x + 1)}^{2} \cdot (x - 1)}$

Étape 4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1) \cdot lim_{x \to 8} x^{2} - 4}{lim_{x \to 8} {(2 x + 1)}^{2} \cdot (x - 1)}$

Étape 5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 8} x^{2} - 4}{lim_{x \to 8} {(2 x + 1)}^{2} \cdot (x - 1)}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 4)}{lim_{x \to 8} {(2 x + 1)}^{2} \cdot (x - 1)}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 4)}{lim_{x \to 8} {(2 x + 1)}^{2} \cdot (x - 1)}$

Étape 8

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 8} {(2 x + 1)}^{2} \cdot (x - 1)}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 8} {(2 x + 1)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x - 1}$

Étape 10

Déplacez l’exposant $2$ de ${(2 x + 1)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{{(lim_{x \to 8} 2 x + 1)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x - 1}$

Étape 11

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{{(lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 1)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x - 1}$

Étape 12

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{{(2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x - 1}$

Étape 13

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{{(2 lim_{x \to 8} x + 1)}^{2} \cdot lim_{x \to 8} x - 1}$

Étape 14

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{{(2 lim_{x \to 8} x + 1)}^{2} \cdot (lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1)}$

Étape 15

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{(3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{{(2 lim_{x \to 8} x + 1)}^{2} \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Étape 16

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 16.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{(3 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot ({(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4)}{{(2 lim_{x \to 8} x + 1)}^{2} \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Étape 16.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{(3 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8^{2} - 1 \cdot 4)}{{(2 lim_{x \to 8} x + 1)}^{2} \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Étape 16.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{(3 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8^{2} - 1 \cdot 4)}{{(2 \cdot 8 + 1)}^{2} \cdot (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Étape 16.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{(3 \cdot 8 - 1 \cdot 1) \cdot (8^{2} - 1 \cdot 4)}{{(2 \cdot 8 + 1)}^{2} \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Étape 17

Simplifiez la réponse.

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Étape 17.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.1.1

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{(24 - 1 \cdot 1) (8^{2} - 1 \cdot 4)}{{(2 \cdot 8 + 1)}^{2} \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Étape 17.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{(24 - 1) (8^{2} - 1 \cdot 4)}{{(2 \cdot 8 + 1)}^{2} \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Étape 17.1.3

Soustrayez $1$ de $24$ .

$\frac{23 (8^{2} - 1 \cdot 4)}{{(2 \cdot 8 + 1)}^{2} \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Étape 17.1.4

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{23 (64 - 1 \cdot 4)}{{(2 \cdot 8 + 1)}^{2} \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Étape 17.1.5

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{23 (64 - 4)}{{(2 \cdot 8 + 1)}^{2} \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Étape 17.1.6

Soustrayez $4$ de $64$ .

$\frac{23 \cdot 60}{{(2 \cdot 8 + 1)}^{2} \cdot (8 - 1 \cdot 1)}$

Étape 17.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 17.2.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{23 \cdot 60}{{(16 + 1)}^{2} (8 - 1 \cdot 1)}$

Étape 17.2.2

Additionnez $16$ et $1$ .

$\frac{23 \cdot 60}{17^{2} (8 - 1 \cdot 1)}$

Étape 17.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{23 \cdot 60}{17^{2} (8 - 1)}$

Étape 17.2.4

Soustrayez $1$ de $8$ .

$\frac{23 \cdot 60}{17^{2} \cdot 7}$

Étape 17.2.5

Élevez $17$ à la puissance $2$ .

$\frac{23 \cdot 60}{289 \cdot 7}$

Étape 17.3

Multipliez $23$ par $60$ .

$\frac{1380}{289 \cdot 7}$

Étape 17.4

Multipliez $289$ par $7$ .

$\frac{1380}{2023}$

Étape 18

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1380}{2023}$

Forme décimale :

$0.68215521 \dots$