Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 8} \frac{3 x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Étape 1

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$3 lim_{x \to - 8} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 4}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$3 \frac{lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} \sqrt{x^{2} - 4}}$

Étape 3

Placez la limite sous le radical.

$3 \frac{lim_{x \to - 8} x}{\sqrt{lim_{x \to - 8} x^{2} - 4}}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$3 \frac{lim_{x \to - 8} x}{\sqrt{lim_{x \to - 8} x^{2} - lim_{x \to - 8} 4}}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 \frac{lim_{x \to - 8} x}{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - lim_{x \to - 8} 4}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$3 \frac{lim_{x \to - 8} x}{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $- 8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$3 \frac{- 8}{\sqrt{{(lim_{x \to - 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$3 \frac{- 8}{\sqrt{{(- 8)}^{2} - 1 \cdot 4}}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$3 \frac{- 8}{\sqrt{64 - 1 \cdot 4}}$

Étape 8.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$3 \frac{- 8}{\sqrt{64 - 4}}$

Étape 8.1.3

Soustrayez $4$ de $64$ .

$3 \frac{- 8}{\sqrt{60}}$

Étape 8.1.4

Réécrivez $60$ comme $2^{2} \cdot 15$ .

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Étape 8.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $60$ .

$3 \frac{- 8}{\sqrt{4 (15)}}$

Étape 8.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$3 \frac{- 8}{\sqrt{2^{2} \cdot 15}}$

Étape 8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$3 \frac{- 8}{2 \sqrt{15}}$

Étape 8.2

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

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Étape 8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$3 \frac{2 \cdot - 4}{2 \sqrt{15}}$

Étape 8.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{15}$ .

$3 \frac{2 \cdot - 4}{2 (\sqrt{15})}$

Étape 8.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{2 \cdot - 4}{2 \sqrt{15}}$

Étape 8.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 \frac{- 4}{\sqrt{15}}$

Étape 8.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (- \frac{4}{\sqrt{15}})$

Étape 8.4

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$3 (- (\frac{4}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}))$

Étape 8.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.5.1

Multipliez $\frac{4}{\sqrt{15}}$ par $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$3 (- \frac{4 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}})$

Étape 8.5.2

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$3 (- \frac{4 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}})$

Étape 8.5.3

Élevez $\sqrt{15}$ à la puissance $1$ .

$3 (- \frac{4 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}})$

Étape 8.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 (- \frac{4 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}})$

Étape 8.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 (- \frac{4 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}})$

Étape 8.5.6

Réécrivez ${\sqrt{15}}^{2}$ comme $15$ .

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Étape 8.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{15}$ comme $15^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (- \frac{4 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 8.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (- \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 8.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$3 (- \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}})$

Étape 8.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$3 (- \frac{4 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}})$

Étape 8.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$3 (- \frac{4 \sqrt{15}}{15^{1}})$

Étape 8.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$3 (- \frac{4 \sqrt{15}}{15})$

Étape 8.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 \sqrt{15}}{15}$ dans le numérateur.

$3 \frac{- 4 \sqrt{15}}{15}$

Étape 8.6.2

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$3 \frac{- 4 \sqrt{15}}{3 (5)}$

Étape 8.6.3

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{- 4 \sqrt{15}}{3 \cdot 5}$

Étape 8.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 4 \sqrt{15}}{5}$

Étape 8.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{4 \sqrt{15}}{5}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{4 \sqrt{15}}{5}$

Forme décimale :

$- 3.09838667 \dots$