Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 8} \frac{9 x^{6} - x}{(x^{3} + 1) (\sqrt{9 x^{6} - x})}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 9 x^{6} - x}{lim_{x \to - 8} (x^{3} + 1) (\sqrt{9 x^{6} - x})}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{lim_{x \to - 8} 9 x^{6} - lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} (x^{3} + 1) (\sqrt{9 x^{6} - x})}$

Étape 3

Placez le terme $9$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{9 lim_{x \to - 8} x^{6} - lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} (x^{3} + 1) (\sqrt{9 x^{6} - x})}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $6$ de $x^{6}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} (x^{3} + 1) (\sqrt{9 x^{6} - x})}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{lim_{x \to - 8} x^{3} + 1 \cdot lim_{x \to - 8} \sqrt{9 x^{6} - x}}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{(lim_{x \to - 8} x^{3} + lim_{x \to - 8} 1) \cdot lim_{x \to - 8} \sqrt{9 x^{6} - x}}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} 1) \cdot lim_{x \to - 8} \sqrt{9 x^{6} - x}}$

Étape 8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot lim_{x \to - 8} \sqrt{9 x^{6} - x}}$

Étape 9

Placez la limite sous le radical.

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{lim_{x \to - 8} 9 x^{6} - x}}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{lim_{x \to - 8} 9 x^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

Étape 11

Placez le terme $9$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 lim_{x \to - 8} x^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

Étape 12

Déplacez l’exposant $6$ de $x^{6}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

Étape 13

Évaluez les limites en insérant $- 8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 13.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{9 {(- 8)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

Étape 13.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{9 {(- 8)}^{6} + 8}{({(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

Étape 13.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{9 {(- 8)}^{6} + 8}{({(- 8)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(lim_{x \to - 8} x)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

Étape 13.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{9 {(- 8)}^{6} + 8}{({(- 8)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(- 8)}^{6} - lim_{x \to - 8} x}}$

Étape 13.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\frac{9 {(- 8)}^{6} + 8}{({(- 8)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(- 8)}^{6} + 8}}$

Étape 14

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $6$ .

$\frac{9 \cdot 262144 + 8}{({(- 8)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(- 8)}^{6} + 8}}$

Étape 14.1.2

Multipliez $9$ par $262144$ .

$\frac{2359296 + 8}{({(- 8)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(- 8)}^{6} + 8}}$

Étape 14.1.3

Additionnez $2359296$ et $8$ .

$\frac{2359304}{({(- 8)}^{3} + 1) \cdot \sqrt{9 {(- 8)}^{6} + 8}}$

Étape 14.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.2.1

Élevez $- 8$ à la puissance $3$ .

$\frac{2359304}{(- 512 + 1) \sqrt{9 {(- 8)}^{6} + 8}}$

Étape 14.2.2

Additionnez $- 512$ et $1$ .

$\frac{2359304}{- 511 \sqrt{9 {(- 8)}^{6} + 8}}$

Étape 14.2.3

Élevez $- 8$ à la puissance $6$ .

$\frac{2359304}{- 511 \sqrt{9 \cdot 262144 + 8}}$

Étape 14.2.4

Multipliez $9$ par $262144$ .

$\frac{2359304}{- 511 \sqrt{2359296 + 8}}$

Étape 14.2.5

Additionnez $2359296$ et $8$ .

$\frac{2359304}{- 511 \sqrt{2359304}}$

Étape 14.2.6

Réécrivez $2359304$ comme $2^{2} \cdot 589826$ .

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Étape 14.2.6.1

Factorisez $4$ à partir de $2359304$ .

$\frac{2359304}{- 511 \sqrt{4 (589826)}}$

Étape 14.2.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{2359304}{- 511 \sqrt{2^{2} \cdot 589826}}$

Étape 14.2.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2359304}{- 511 \cdot 2 \sqrt{589826}}$

Étape 14.2.8

Multipliez $- 511$ par $2$ .

$\frac{2359304}{- 1022 \sqrt{589826}}$

Étape 14.3

Annulez le facteur commun à $2359304$ et $- 1022$ .

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Étape 14.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2359304$ .

$\frac{2 (1179652)}{- 1022 \sqrt{589826}}$

Étape 14.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 1022 \sqrt{589826}$ .

$\frac{2 (1179652)}{2 (- 511 \sqrt{589826})}$

Étape 14.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1179652}{2 (- 511 \sqrt{589826})}$

Étape 14.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1179652}{- 511 \sqrt{589826}}$

Étape 14.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1179652}{511 \sqrt{589826}}$

Étape 14.5

Multipliez $\frac{1179652}{511 \sqrt{589826}}$ par $\frac{\sqrt{589826}}{\sqrt{589826}}$ .

$- (\frac{1179652}{511 \sqrt{589826}} \cdot \frac{\sqrt{589826}}{\sqrt{589826}})$

Étape 14.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.6.1

Multipliez $\frac{1179652}{511 \sqrt{589826}}$ par $\frac{\sqrt{589826}}{\sqrt{589826}}$ .

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 \sqrt{589826} \sqrt{589826}}$

Étape 14.6.2

Déplacez $\sqrt{589826}$ .

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 (\sqrt{589826} \sqrt{589826})}$

Étape 14.6.3

Élevez $\sqrt{589826}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 ({\sqrt{589826}}^{1} \sqrt{589826})}$

Étape 14.6.4

Élevez $\sqrt{589826}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 ({\sqrt{589826}}^{1} {\sqrt{589826}}^{1})}$

Étape 14.6.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 {\sqrt{589826}}^{1 + 1}}$

Étape 14.6.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 {\sqrt{589826}}^{2}}$

Étape 14.6.7

Réécrivez ${\sqrt{589826}}^{2}$ comme $589826$ .

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Étape 14.6.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{589826}$ comme $589826^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 {(589826^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 14.6.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 \cdot 589826^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 14.6.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 \cdot 589826^{\frac{2}{2}}}$

Étape 14.6.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.6.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 \cdot 589826^{\frac{2}{2}}}$

Étape 14.6.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 \cdot 589826^{1}}$

Étape 14.6.7.5

Évaluez l’exposant.

$- \frac{1179652 \sqrt{589826}}{511 \cdot 589826}$

Étape 14.7

Annulez le facteur commun à $1179652$ et $589826$ .

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Étape 14.7.1

Factorisez $589826$ à partir de $1179652 \sqrt{589826}$ .

$- \frac{589826 (2 \sqrt{589826})}{511 \cdot 589826}$

Étape 14.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.7.2.1

Factorisez $589826$ à partir de $511 \cdot 589826$ .

$- \frac{589826 (2 \sqrt{589826})}{589826 \cdot 511}$

Étape 14.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{589826 (2 \sqrt{589826})}{589826 \cdot 511}$

Étape 14.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 \sqrt{589826}}{511}$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{2 \sqrt{589826}}{511}$

Forme décimale :

$- 3.00587593 \dots$