Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{7 + 5^{x} + 3^{- x}}{13 + 5^{x} + 9^{- x}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 7 + 5^{x} + 3^{- x}}{lim_{x \to 8} 13 + 5^{x} + 9^{- x}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} 7 + lim_{x \to 8} 5^{x} + lim_{x \to 8} 3^{- x}}{lim_{x \to 8} 13 + 5^{x} + 9^{- x}}$

Étape 3

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{7 + lim_{x \to 8} 5^{x} + lim_{x \to 8} 3^{- x}}{lim_{x \to 8} 13 + 5^{x} + 9^{- x}}$

Étape 4

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{7 + 5^{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 3^{- x}}{lim_{x \to 8} 13 + 5^{x} + 9^{- x}}$

Étape 5

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{7 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 3^{lim_{x \to 8} - x}}{lim_{x \to 8} 13 + 5^{x} + 9^{- x}}$

Étape 6

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{7 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 3^{- lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 13 + 5^{x} + 9^{- x}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{7 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 3^{- lim_{x \to 8} x}}{lim_{x \to 8} 13 + lim_{x \to 8} 5^{x} + lim_{x \to 8} 9^{- x}}$

Étape 8

Évaluez la limite de $13$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{7 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 3^{- lim_{x \to 8} x}}{13 + lim_{x \to 8} 5^{x} + lim_{x \to 8} 9^{- x}}$

Étape 9

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{7 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 3^{- lim_{x \to 8} x}}{13 + 5^{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 9^{- x}}$

Étape 10

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{7 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 3^{- lim_{x \to 8} x}}{13 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 9^{lim_{x \to 8} - x}}$

Étape 11

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{7 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 3^{- lim_{x \to 8} x}}{13 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 9^{- lim_{x \to 8} x}}$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{7 + 5^{8} + 3^{- lim_{x \to 8} x}}{13 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 9^{- lim_{x \to 8} x}}$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{7 + 5^{8} + 3^{- 8}}{13 + 5^{lim_{x \to 8} x} + 9^{- lim_{x \to 8} x}}$

Étape 12.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{7 + 5^{8} + 3^{- 8}}{13 + 5^{8} + 9^{- lim_{x \to 8} x}}$

Étape 12.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{7 + 5^{8} + 3^{- 8}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1

Élevez $5$ à la puissance $8$ .

$\frac{7 + 390625 + 3^{- 8}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Étape 13.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{7 + 390625 + \frac{1}{3^{8}}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Étape 13.1.3

Élevez $3$ à la puissance $8$ .

$\frac{7 + 390625 + \frac{1}{6561}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Étape 13.1.4

Additionnez $7$ et $390625$ .

$\frac{390632 + \frac{1}{6561}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Étape 13.1.5

Pour écrire $390632$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6561}{6561}$ .

$\frac{390632 \cdot \frac{6561}{6561} + \frac{1}{6561}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Étape 13.1.6

Associez $390632$ et $\frac{6561}{6561}$ .

$\frac{\frac{390632 \cdot 6561}{6561} + \frac{1}{6561}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Étape 13.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{390632 \cdot 6561 + 1}{6561}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Étape 13.1.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.8.1

Multipliez $390632$ par $6561$ .

$\frac{\frac{2562936552 + 1}{6561}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Étape 13.1.8.2

Additionnez $2562936552$ et $1$ .

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{13 + 5^{8} + 9^{- 8}}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

Élevez $5$ à la puissance $8$ .

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{13 + 390625 + 9^{- 8}}$

Étape 13.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{13 + 390625 + \frac{1}{9^{8}}}$

Étape 13.2.3

Élevez $9$ à la puissance $8$ .

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{13 + 390625 + \frac{1}{43046721}}$

Étape 13.2.4

Additionnez $13$ et $390625$ .

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{390638 + \frac{1}{43046721}}$

Étape 13.2.5

Pour écrire $390638$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{43046721}{43046721}$ .

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{390638 \cdot \frac{43046721}{43046721} + \frac{1}{43046721}}$

Étape 13.2.6

Associez $390638$ et $\frac{43046721}{43046721}$ .

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{\frac{390638 \cdot 43046721}{43046721} + \frac{1}{43046721}}$

Étape 13.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{\frac{390638 \cdot 43046721 + 1}{43046721}}$

Étape 13.2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.2.8.1

Multipliez $390638$ par $43046721$ .

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{\frac{16815684997998 + 1}{43046721}}$

Étape 13.2.8.2

Additionnez $16815684997998$ et $1$ .

$\frac{\frac{2562936553}{6561}}{\frac{16815684997999}{43046721}}$

Étape 13.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2562936553}{6561} \cdot \frac{43046721}{16815684997999}$

Étape 13.4

Annulez le facteur commun de $6561$ .

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Étape 13.4.1

Factorisez $6561$ à partir de $43046721$ .

$\frac{2562936553}{6561} \cdot \frac{6561 (6561)}{16815684997999}$

Étape 13.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2562936553}{6561} \cdot \frac{6561 \cdot 6561}{16815684997999}$

Étape 13.4.3

Réécrivez l’expression.

$2562936553 (\frac{6561}{16815684997999})$

Étape 13.5

Associez $2562936553$ et $\frac{6561}{16815684997999}$ .

$\frac{2562936553 \cdot 6561}{16815684997999}$

Étape 13.6

Multipliez $2562936553$ par $6561$ .

$\frac{16815426724233}{16815684997999}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{16815426724233}{16815684997999}$

Forme décimale :

$0.99998464 \dots$