Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{(x - 2) (2 x - 3)}{(3 x + 2) (4 x - 1)}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} (x - 2) (2 x - 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x - 2 \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Étape 4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot lim_{x \to 8} 2 x - 3}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Étape 6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Étape 7

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 8} (3 x + 2) (4 x - 1)}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{lim_{x \to 8} 3 x + 2 \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(lim_{x \to 8} 3 x + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1}$

Étape 10

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2) \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1}$

Étape 11

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot lim_{x \to 8} 4 x - 1}$

Étape 12

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (lim_{x \to 8} 4 x - lim_{x \to 8} 1)}$

Étape 13

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1)}$

Étape 14

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{(lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Étape 15

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 15.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{(8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Étape 15.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{(8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 lim_{x \to 8} x + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Étape 15.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{(8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1)}$

Étape 15.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{(8 - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Étape 16

Simplifiez la réponse.

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Étape 16.1

Annulez le facteur commun à $8 - 1 \cdot 2$ et $3 \cdot 8 + 2$ .

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Étape 16.1.1

Réécrivez $8$ comme $- 1 (- 8)$ .

$\frac{(- 1 (- 8) - 1 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Étape 16.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 2$ .

$\frac{(- 1 (- 8) - 1 (2)) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Étape 16.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 8) - 1 (2)$ .

$\frac{- 1 (- 8 + 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Étape 16.1.4

Factorisez $2$ à partir de $- 1 (- 8 + 2) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 4 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3))}{(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Étape 16.1.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $(3 \cdot 8 + 2) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (- 4 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3))}{2 ((3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1))}$

Étape 16.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 1 (- 4 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3))}{2 ((3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1))}$

Étape 16.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 (- 4 + 1) \cdot (2 \cdot 8 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Étape 16.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 16.2.1

Associez les exposants.

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Étape 16.2.1.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{- 1 (- 4 + 1) (16 - 1 \cdot 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Étape 16.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 1 (- 4 + 1) (16 - 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Étape 16.2.2

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$\frac{- 1 \cdot - 3 (16 - 3)}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Étape 16.2.3

Soustrayez $3$ de $16$ .

$\frac{- 1 \cdot - 3 \cdot 13}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Étape 16.2.4

Associez les exposants.

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Étape 16.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{3 \cdot 13}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Étape 16.2.4.2

Multipliez $3$ par $13$ .

$\frac{39}{(3 \cdot 4 + 1) \cdot (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Étape 16.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 16.3.1

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{39}{(12 + 1) (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Étape 16.3.2

Additionnez $12$ et $1$ .

$\frac{39}{13 (4 \cdot 8 - 1 \cdot 1)}$

Étape 16.3.3

Multipliez $4$ par $8$ .

$\frac{39}{13 (32 - 1 \cdot 1)}$

Étape 16.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{39}{13 (32 - 1)}$

Étape 16.3.5

Soustrayez $1$ de $32$ .

$\frac{39}{13 \cdot 31}$

Étape 16.4

Multipliez $13$ par $31$ .

$\frac{39}{403}$

Étape 16.5

Annulez le facteur commun à $39$ et $403$ .

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Étape 16.5.1

Factorisez $13$ à partir de $39$ .

$\frac{13 (3)}{403}$

Étape 16.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 16.5.2.1

Factorisez $13$ à partir de $403$ .

$\frac{13 \cdot 3}{13 \cdot 31}$

Étape 16.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{13 \cdot 3}{13 \cdot 31}$

Étape 16.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{31}$

Étape 17

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3}{31}$

Forme décimale :

$0.09677419 \dots$