Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{x + 2}{\sqrt{16 x^{2} + 1}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x + 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{16 x^{2} + 1}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{16 x^{2} + 1}}$

Étape 3

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x + 2}{lim_{x \to 8} \sqrt{16 x^{2} + 1}}$

Étape 4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{lim_{x \to 8} x + 2}{\sqrt{lim_{x \to 8} 16 x^{2} + 1}}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x + 2}{\sqrt{lim_{x \to 8} 16 x^{2} + lim_{x \to 8} 1}}$

Étape 6

Placez le terme $16$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x + 2}{\sqrt{16 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 1}}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{lim_{x \to 8} x + 2}{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 1}}$

Étape 8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x + 2}{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1}}$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8 + 2}{\sqrt{16 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1}}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8 + 2}{\sqrt{16 \cdot 8^{2} + 1}}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Additionnez $8$ et $2$ .

$\frac{10}{\sqrt{16 \cdot 8^{2} + 1}}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{10}{\sqrt{16 \cdot 64 + 1}}$

Étape 10.2.2

Multipliez $16$ par $64$ .

$\frac{10}{\sqrt{1024 + 1}}$

Étape 10.2.3

Additionnez $1024$ et $1$ .

$\frac{10}{\sqrt{1025}}$

Étape 10.2.4

Réécrivez $1025$ comme $5^{2} \cdot 41$ .

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Étape 10.2.4.1

Factorisez $25$ à partir de $1025$ .

$\frac{10}{\sqrt{25 (41)}}$

Étape 10.2.4.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{10}{\sqrt{5^{2} \cdot 41}}$

Étape 10.2.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{10}{5 \sqrt{41}}$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun à $10$ et $5$ .

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Étape 10.3.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5 \sqrt{41}}$

Étape 10.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.2.1

Factorisez $5$ à partir de $5 \sqrt{41}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5 (\sqrt{41})}$

Étape 10.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cdot 2}{5 \sqrt{41}}$

Étape 10.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{\sqrt{41}}$

Étape 10.4

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{41}}$ par $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{41}} \cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$

Étape 10.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.5.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{41}}$ par $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\frac{2 \sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}}$

Étape 10.5.2

Élevez $\sqrt{41}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} \sqrt{41}}$

Étape 10.5.3

Élevez $\sqrt{41}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} {\sqrt{41}}^{1}}$

Étape 10.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1 + 1}}$

Étape 10.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{2}}$

Étape 10.5.6

Réécrivez ${\sqrt{41}}^{2}$ comme $41$ .

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Étape 10.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{41}$ comme $41^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{41}}{{(41^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 10.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{41}}{41^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 10.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}}$

Étape 10.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{41}}{41^{1}}$

Étape 10.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{41}}{41}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 \sqrt{41}}{41}$

Forme décimale :

$0.31234752 \dots$