Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{25 x^{2} - 4}}{\sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{25 x^{2} - 4}}{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5}}$

Étape 2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 25 x^{2} - 4}}{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 25 x^{2} - lim_{x \to 8} 4}}{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5}}$

Étape 4

Placez le terme $25$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{25 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 4}}{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5}}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{25 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 4}}{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{25 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}}{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{2} + 2 x + 5}}$

Étape 7

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{25 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} + 2 x + 5}}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{25 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}}{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} + lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 5}}$

Étape 9

Placez le terme $9$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{25 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}}{\sqrt{9 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 5}}$

Étape 10

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{25 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}}{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 2 x + lim_{x \to 8} 5}}$

Étape 11

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{25 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}}{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 5}}$

Étape 12

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{25 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 4}}{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + 5}}$

Étape 13

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 13.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}}{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + 5}}$

Étape 13.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}}{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 2 lim_{x \to 8} x + 5}}$

Étape 13.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 4}}{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 2 \cdot 8 + 5}}$

Étape 14

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot 64 - 1 \cdot 4}}{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 2 \cdot 8 + 5}}$

Étape 14.1.2

Multipliez $25$ par $64$ .

$\frac{\sqrt{1600 - 1 \cdot 4}}{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 2 \cdot 8 + 5}}$

Étape 14.1.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{\sqrt{1600 - 4}}{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 2 \cdot 8 + 5}}$

Étape 14.1.4

Soustrayez $4$ de $1600$ .

$\frac{\sqrt{1596}}{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 2 \cdot 8 + 5}}$

Étape 14.1.5

Réécrivez $1596$ comme $2^{2} \cdot 399$ .

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Étape 14.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $1596$ .

$\frac{\sqrt{4 (399)}}{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 2 \cdot 8 + 5}}$

Étape 14.1.5.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 399}}{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 2 \cdot 8 + 5}}$

Étape 14.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt{399}}{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 2 \cdot 8 + 5}}$

Étape 14.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.2.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 \sqrt{399}}{\sqrt{9 \cdot 64 + 2 \cdot 8 + 5}}$

Étape 14.2.2

Multipliez $9$ par $64$ .

$\frac{2 \sqrt{399}}{\sqrt{576 + 2 \cdot 8 + 5}}$

Étape 14.2.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{2 \sqrt{399}}{\sqrt{576 + 16 + 5}}$

Étape 14.2.4

Additionnez $576$ et $16$ .

$\frac{2 \sqrt{399}}{\sqrt{592 + 5}}$

Étape 14.2.5

Additionnez $592$ et $5$ .

$\frac{2 \sqrt{399}}{\sqrt{597}}$

Étape 14.3

Associez $\sqrt{399}$ et $\sqrt{597}$ en un radical unique.

$2 \sqrt{\frac{399}{597}}$

Étape 14.4

Annulez le facteur commun à $399$ et $597$ .

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Étape 14.4.1

Factorisez $3$ à partir de $399$ .

$2 \sqrt{\frac{3 (133)}{597}}$

Étape 14.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $597$ .

$2 \sqrt{\frac{3 \cdot 133}{3 \cdot 199}}$

Étape 14.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \sqrt{\frac{3 \cdot 133}{3 \cdot 199}}$

Étape 14.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 \sqrt{\frac{133}{199}}$

Étape 14.5

Réécrivez $\sqrt{\frac{133}{199}}$ comme $\frac{\sqrt{133}}{\sqrt{199}}$ .

$2 \frac{\sqrt{133}}{\sqrt{199}}$

Étape 14.6

Multipliez $\frac{\sqrt{133}}{\sqrt{199}}$ par $\frac{\sqrt{199}}{\sqrt{199}}$ .

$2 (\frac{\sqrt{133}}{\sqrt{199}} \cdot \frac{\sqrt{199}}{\sqrt{199}})$

Étape 14.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.7.1

Multipliez $\frac{\sqrt{133}}{\sqrt{199}}$ par $\frac{\sqrt{199}}{\sqrt{199}}$ .

$2 \frac{\sqrt{133} \sqrt{199}}{\sqrt{199} \sqrt{199}}$

Étape 14.7.2

Élevez $\sqrt{199}$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{\sqrt{133} \sqrt{199}}{{\sqrt{199}}^{1} \sqrt{199}}$

Étape 14.7.3

Élevez $\sqrt{199}$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{\sqrt{133} \sqrt{199}}{{\sqrt{199}}^{1} {\sqrt{199}}^{1}}$

Étape 14.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \frac{\sqrt{133} \sqrt{199}}{{\sqrt{199}}^{1 + 1}}$

Étape 14.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \frac{\sqrt{133} \sqrt{199}}{{\sqrt{199}}^{2}}$

Étape 14.7.6

Réécrivez ${\sqrt{199}}^{2}$ comme $199$ .

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Étape 14.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{199}$ comme $199^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{\sqrt{133} \sqrt{199}}{{(199^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 14.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{\sqrt{133} \sqrt{199}}{199^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 14.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 \frac{\sqrt{133} \sqrt{199}}{199^{\frac{2}{2}}}$

Étape 14.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\sqrt{133} \sqrt{199}}{199^{\frac{2}{2}}}$

Étape 14.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{\sqrt{133} \sqrt{199}}{199^{1}}$

Étape 14.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$2 \frac{\sqrt{133} \sqrt{199}}{199}$

Étape 14.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.8.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$2 \frac{\sqrt{133 \cdot 199}}{199}$

Étape 14.8.2

Multipliez $133$ par $199$ .

$2 \frac{\sqrt{26467}}{199}$

Étape 14.9

Associez $2$ et $\frac{\sqrt{26467}}{199}$ .

$\frac{2 \sqrt{26467}}{199}$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 \sqrt{26467}}{199}$

Forme décimale :

$1.63504337 \dots$