Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{\ln ({(x + 2)}^{2})}{\ln (x^{4})}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \ln ({(x + 2)}^{2})}{lim_{x \to 8} \ln (x^{4})}$

Étape 2

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} {(x + 2)}^{2})}{lim_{x \to 8} \ln (x^{4})}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $2$ de ${(x + 2)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\ln ({(lim_{x \to 8} x + 2)}^{2})}{lim_{x \to 8} \ln (x^{4})}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\ln ({(lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 2)}^{2})}{lim_{x \to 8} \ln (x^{4})}$

Étape 5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\ln ({(lim_{x \to 8} x + 2)}^{2})}{lim_{x \to 8} \ln (x^{4})}$

Étape 6

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\ln ({(lim_{x \to 8} x + 2)}^{2})}{\ln (lim_{x \to 8} x^{4})}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\ln ({(lim_{x \to 8} x + 2)}^{2})}{\ln ({(lim_{x \to 8} x)}^{4})}$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\ln ({(8 + 2)}^{2})}{\ln ({(lim_{x \to 8} x)}^{4})}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\ln ({(8 + 2)}^{2})}{\ln (8^{4})}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Développez $\ln ({(8 + 2)}^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$\frac{2 \ln (8 + 2)}{\ln (8^{4})}$

Étape 9.2

Développez $\ln (8^{4})$ en déplaçant $4$ hors du logarithme.

$\frac{2 \ln (8 + 2)}{4 \ln (8)}$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 9.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \ln (8 + 2)$ .

$\frac{2 (\ln (8 + 2))}{4 \ln (8)}$

Étape 9.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 \ln (8)$ .

$\frac{2 (\ln (8 + 2))}{2 (2 \ln (8))}$

Étape 9.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \ln (8 + 2)}{2 (2 \ln (8))}$

Étape 9.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (8 + 2)}{2 \ln (8)}$

Étape 9.4

Additionnez $8$ et $2$ .

$\frac{\ln (10)}{2 \ln (8)}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\ln (10)}{2 \ln (8)}$

Forme décimale :

$0.55365468 \dots$