Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{x^{2} + 1 - 1}}{\sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 1 - 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Étape 2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + 1 - 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 1 - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 1 - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Étape 5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - lim_{x \to 8} 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} + 2 - 4}}$

Étape 7

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + 2 - 4}}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 2 - lim_{x \to 8} 4}}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 2 - lim_{x \to 8} 4}}$

Étape 10

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 - lim_{x \to 8} 4}}$

Étape 11

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{8^{2} + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{64 + 1 - 1 \cdot 1}}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Étape 13.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{64 + 1 - 1}}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Étape 13.1.3

Additionnez $64$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{65 - 1}}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Étape 13.1.4

Soustrayez $1$ de $65$ .

$\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Étape 13.1.5

Réécrivez $64$ comme $8^{2}$ .

$\frac{\sqrt{8^{2}}}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Étape 13.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{8}{\sqrt{8^{2} + 2 - 1 \cdot 4}}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{8}{\sqrt{64 + 2 - 1 \cdot 4}}$

Étape 13.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{8}{\sqrt{64 + 2 - 4}}$

Étape 13.2.3

Additionnez $64$ et $2$ .

$\frac{8}{\sqrt{66 - 4}}$

Étape 13.2.4

Soustrayez $4$ de $66$ .

$\frac{8}{\sqrt{62}}$

Étape 13.3

Multipliez $\frac{8}{\sqrt{62}}$ par $\frac{\sqrt{62}}{\sqrt{62}}$ .

$\frac{8}{\sqrt{62}} \cdot \frac{\sqrt{62}}{\sqrt{62}}$

Étape 13.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.4.1

Multipliez $\frac{8}{\sqrt{62}}$ par $\frac{\sqrt{62}}{\sqrt{62}}$ .

$\frac{8 \sqrt{62}}{\sqrt{62} \sqrt{62}}$

Étape 13.4.2

Élevez $\sqrt{62}$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 \sqrt{62}}{{\sqrt{62}}^{1} \sqrt{62}}$

Étape 13.4.3

Élevez $\sqrt{62}$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 \sqrt{62}}{{\sqrt{62}}^{1} {\sqrt{62}}^{1}}$

Étape 13.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 \sqrt{62}}{{\sqrt{62}}^{1 + 1}}$

Étape 13.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{8 \sqrt{62}}{{\sqrt{62}}^{2}}$

Étape 13.4.6

Réécrivez ${\sqrt{62}}^{2}$ comme $62$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{62}$ comme $62^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 \sqrt{62}}{{(62^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 13.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \sqrt{62}}{62^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 13.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{8 \sqrt{62}}{62^{\frac{2}{2}}}$

Étape 13.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \sqrt{62}}{62^{\frac{2}{2}}}$

Étape 13.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 \sqrt{62}}{62^{1}}$

Étape 13.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{8 \sqrt{62}}{62}$

Étape 13.5

Annulez le facteur commun à $8$ et $62$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.5.1

Factorisez $2$ à partir de $8 \sqrt{62}$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{62})}{62}$

Étape 13.5.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $62$ .

$\frac{2 (4 \sqrt{62})}{2 (31)}$

Étape 13.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (4 \sqrt{62})}{2 \cdot 31}$

Étape 13.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \sqrt{62}}{31}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{4 \sqrt{62}}{31}$

Forme décimale :

$1.01600101 \dots$