Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{{(5 x^{4} - 4 x + 3)}^{3}}{{(5 x^{3} - 3 x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} {(5 x^{4} - 4 x + 3)}^{3}}{lim_{x \to 8} {(5 x^{3} - 3 x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 2

Déplacez l’exposant $3$ de ${(5 x^{4} - 4 x + 3)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 8} 5 x^{4} - 4 x + 3)}^{3}}{lim_{x \to 8} {(5 x^{3} - 3 x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{{(lim_{x \to 8} 5 x^{4} - lim_{x \to 8} 4 x + lim_{x \to 8} 3)}^{3}}{lim_{x \to 8} {(5 x^{3} - 3 x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(5 lim_{x \to 8} x^{4} - lim_{x \to 8} 4 x + lim_{x \to 8} 3)}^{3}}{lim_{x \to 8} {(5 x^{3} - 3 x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - lim_{x \to 8} 4 x + lim_{x \to 8} 3)}^{3}}{lim_{x \to 8} {(5 x^{3} - 3 x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 6

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 4 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 3)}^{3}}{lim_{x \to 8} {(5 x^{3} - 3 x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 7

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 4 lim_{x \to 8} x + 3)}^{3}}{lim_{x \to 8} {(5 x^{3} - 3 x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $4$ de ${(5 x^{3} - 3 x^{2} - 2)}^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 4 lim_{x \to 8} x + 3)}^{3}}{{(lim_{x \to 8} 5 x^{3} - 3 x^{2} - 2)}^{4}}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 4 lim_{x \to 8} x + 3)}^{3}}{{(lim_{x \to 8} 5 x^{3} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} 2)}^{4}}$

Étape 10

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 4 lim_{x \to 8} x + 3)}^{3}}{{(5 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} 2)}^{4}}$

Étape 11

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 4 lim_{x \to 8} x + 3)}^{3}}{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} 2)}^{4}}$

Étape 12

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 4 lim_{x \to 8} x + 3)}^{3}}{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 2)}^{4}}$

Étape 13

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 4 lim_{x \to 8} x + 3)}^{3}}{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 2)}^{4}}$

Étape 14

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} - 4 lim_{x \to 8} x + 3)}^{3}}{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 2)}^{4}}$

Étape 15

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{{(5 \cdot 8^{4} - 4 lim_{x \to 8} x + 3)}^{3}}{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 2)}^{4}}$

Étape 15.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{{(5 \cdot 8^{4} - 4 \cdot 8 + 3)}^{3}}{{(5 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 2)}^{4}}$

Étape 15.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{{(5 \cdot 8^{4} - 4 \cdot 8 + 3)}^{3}}{{(5 \cdot 8^{3} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 2)}^{4}}$

Étape 15.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{{(5 \cdot 8^{4} - 4 \cdot 8 + 3)}^{3}}{{(5 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 2)}^{4}}$

Étape 16

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.1.1

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\frac{{(5 \cdot 4096 - 4 \cdot 8 + 3)}^{3}}{{(5 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 2)}^{4}}$

Étape 16.1.2

Multipliez $5$ par $4096$ .

$\frac{{(20480 - 4 \cdot 8 + 3)}^{3}}{{(5 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 2)}^{4}}$

Étape 16.1.3

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$\frac{{(20480 - 32 + 3)}^{3}}{{(5 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 2)}^{4}}$

Étape 16.1.4

Soustrayez $32$ de $20480$ .

$\frac{{(20448 + 3)}^{3}}{{(5 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 2)}^{4}}$

Étape 16.1.5

Additionnez $20448$ et $3$ .

$\frac{20451^{3}}{{(5 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 2)}^{4}}$

Étape 16.1.6

Élevez $20451$ à la puissance $3$ .

$\frac{8553495793851}{{(5 \cdot 8^{3} - 3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 2)}^{4}}$

Étape 16.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{8553495793851}{{(5 \cdot 512 - 3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 2)}^{4}}$

Étape 16.2.2

Multipliez $5$ par $512$ .

$\frac{8553495793851}{{(2560 - 3 \cdot 8^{2} - 1 \cdot 2)}^{4}}$

Étape 16.2.3

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{8553495793851}{{(2560 - 3 \cdot 64 - 1 \cdot 2)}^{4}}$

Étape 16.2.4

Multipliez $- 3$ par $64$ .

$\frac{8553495793851}{{(2560 - 192 - 1 \cdot 2)}^{4}}$

Étape 16.2.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{8553495793851}{{(2560 - 192 - 2)}^{4}}$

Étape 16.2.6

Soustrayez $192$ de $2560$ .

$\frac{8553495793851}{{(2368 - 2)}^{4}}$

Étape 16.2.7

Soustrayez $2$ de $2368$ .

$\frac{8553495793851}{2366^{4}}$

Étape 16.2.8

Élevez $2366$ à la puissance $4$ .

$\frac{8553495793851}{31337111377936}$

Étape 17

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{8553495793851}{31337111377936}$

Forme décimale :

$0.27295099 \dots$