Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{x \cos (x π)}{2 x - 1}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x \cos (x π)}{lim_{x \to 8} 2 x - 1}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \cos (x π)}{lim_{x \to 8} 2 x - 1}$

Étape 3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot \cos (lim_{x \to 8} x π)}{lim_{x \to 8} 2 x - 1}$

Étape 4

Placez le terme $π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot \cos (π lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} 2 x - 1}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot \cos (π lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} 2 x - lim_{x \to 8} 1}$

Étape 6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot \cos (π lim_{x \to 8} x)}{2 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1}$

Étape 7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x \cdot \cos (π lim_{x \to 8} x)}{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8 \cdot \cos (π lim_{x \to 8} x)}{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8 \cdot \cos (π \cdot 8)}{2 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}$

Étape 8.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8 \cdot \cos (π \cdot 8)}{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Déplacez $8$ à gauche de $π$ .

$\frac{8 \cos (8 \cdot π)}{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}$

Étape 9.1.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{8 \cos (0)}{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}$

Étape 9.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{8 \cdot 1}{2 \cdot 8 - 1 \cdot 1}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{8 \cdot 1}{16 - 1 \cdot 1}$

Étape 9.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{8 \cdot 1}{16 - 1}$

Étape 9.2.3

Soustrayez $1$ de $16$ .

$\frac{8 \cdot 1}{15}$

Étape 9.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{8}{15}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{8}{15}$

Forme décimale :

$0.5\overline{3}$