Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 9} \frac{x^{9} - x^{x}}{x - 9}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 9} x^{9} - x^{x}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{lim_{x \to 9} x^{9} - lim_{x \to 9} x^{x}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.2.1.2

Déplacez l’exposant $9$ de $x^{9}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - lim_{x \to 9} x^{x}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.2.2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.1

Réécrivez $x^{x}$ comme $e^{\ln (x^{x})}$ .

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - lim_{x \to 9} e^{\ln (x^{x})}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.2.2.2

Développez $\ln (x^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.2.3

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - e^{lim_{x \to 9} x \ln (x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.2.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot lim_{x \to 9} \ln (x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.2.3.3

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{{(lim_{x \to 9} x)}^{9} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez les limites en insérant $9$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{9^{9} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{9^{9} - e^{9 \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.2.4.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{9^{9} - e^{9 \cdot \ln (9)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.1.1

Élevez $9$ à la puissance $9$ .

$\frac{387420489 - e^{9 \cdot \ln (9)}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.2.5.1.2

Simplifiez $9 \cdot \ln (9)$ en déplaçant $9$ dans le logarithme.

$\frac{387420489 - e^{\ln (9^{9})}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.2.5.1.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\frac{387420489 - 9^{9}}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.2.5.1.4

Élevez $9$ à la puissance $9$ .

$\frac{387420489 - 1 \cdot 387420489}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.2.5.1.5

Multipliez $- 1$ par $387420489$ .

$\frac{387420489 - 387420489}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.2.5.2

Soustrayez $387420489$ de $387420489$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 9}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - lim_{x \to 9} 9}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $9$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 9} x - 1 \cdot 9}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$\frac{0}{9 - 1 \cdot 9}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{0}{9 - 9}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $9$ de $9$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 9} \frac{x^{9} - x^{x}}{x - 9} = lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x^{9} - x^{x}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x^{9} - x^{x}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{9} - x^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x^{x}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{\frac{d}{d x} [x^{9}] + \frac{d}{d x} [- x^{x}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 9$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} + \frac{d}{d x} [- x^{x}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{x}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{x}]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - \frac{d}{d x} [x^{x}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.4.2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.2.1

Réécrivez $x^{x}$ comme $e^{\ln (x^{x})}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.4.2.2

Développez $\ln (x^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x \ln (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x \ln (x)$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.4.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x \ln (x)$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.4.5

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.4.7

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.4.8

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.8.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.4.8.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.4.9

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \cdot 1 - e^{x \ln (x)} \ln (x)}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} - e^{x \ln (x)} \ln (x)}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}}{\frac{d}{d x} [x - 9]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}}{1 + \frac{d}{d x} [- 9]}$

Étape 1.3.8

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}}{1 + 0}$

Étape 1.3.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 9} \frac{9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}}{1}$

Étape 1.4

Divisez $9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}$ par $1$ .

$lim_{x \to 9} 9 x^{8} - e^{x \ln (x)} \ln (x) - e^{x \ln (x)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$lim_{x \to 9} 9 x^{8} - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Étape 2.2

Placez le terme $9$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$9 lim_{x \to 9} x^{8} - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Étape 2.3

Déplacez l’exposant $8$ de $x^{8}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)} \cdot lim_{x \to 9} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Étape 2.5

Placez la limite dans l’exposant.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \ln (x)} \cdot lim_{x \to 9} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Étape 2.6

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot lim_{x \to 9} \ln (x)} \cdot lim_{x \to 9} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Étape 2.7

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot lim_{x \to 9} \ln (x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Étape 2.8

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - lim_{x \to 9} e^{x \ln (x)}$

Étape 2.9

Placez la limite dans l’exposant.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \ln (x)}$

Étape 2.10

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $9$ .

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot lim_{x \to 9} \ln (x)}$

Étape 2.11

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$9 {(lim_{x \to 9} x)}^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $9$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (lim_{x \to 9} x) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{lim_{x \to 9} x \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Étape 3.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (lim_{x \to 9} x)}$

Étape 3.6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $9$ pour $x$ .

$9 \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Multipliez $9$ par $9^{8}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.1

Multipliez $9$ par $9^{8}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.1.1

Élevez $9$ à la puissance $1$ .

$9^{1} \cdot 9^{8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Étape 4.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$9^{1 + 8} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Étape 4.1.1.2

Additionnez $1$ et $8$ .

$9^{9} - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Étape 4.1.2

Élevez $9$ à la puissance $9$ .

$387420489 - e^{9 \cdot \ln (9)} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Étape 4.1.3

Simplifiez $9 \cdot \ln (9)$ en déplaçant $9$ dans le logarithme.

$387420489 - e^{\ln (9^{9})} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Étape 4.1.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$387420489 - 9^{9} \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Étape 4.1.5

Élevez $9$ à la puissance $9$ .

$387420489 - 1 \cdot 387420489 \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Étape 4.1.6

Multipliez $- 1$ par $387420489$ .

$387420489 - 387420489 \cdot \ln (9) - e^{9 \cdot \ln (9)}$

Étape 4.1.7

Simplifiez $9 \cdot \ln (9)$ en déplaçant $9$ dans le logarithme.

$387420489 - 387420489 \ln (9) - e^{\ln (9^{9})}$

Étape 4.1.8

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$387420489 - 387420489 \ln (9) - 9^{9}$

Étape 4.1.9

Élevez $9$ à la puissance $9$ .

$387420489 - 387420489 \ln (9) - 1 \cdot 387420489$

Étape 4.1.10

Multipliez $- 1$ par $387420489$ .

$387420489 - 387420489 \ln (9) - 387420489$

Étape 4.2

Soustrayez $387420489$ de $387420489$ .

$0 - 387420489 \ln (9)$

Étape 4.3

Soustrayez $387420489 \ln (9)$ de $0$ .

$- 387420489 \ln (9)$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 387420489 \ln (9)$

Forme décimale :

$- 851249820.194417$