Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 999999} \ln (1 + x^{2}) - \ln (1 + x)$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $999999$ .

$lim_{x \to 999999} \ln (1 + x^{2}) - lim_{x \to 999999} \ln (1 + x)$

Étape 2

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\ln (lim_{x \to 999999} 1 + x^{2}) - lim_{x \to 999999} \ln (1 + x)$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $999999$ .

$\ln (lim_{x \to 999999} 1 + lim_{x \to 999999} x^{2}) - lim_{x \to 999999} \ln (1 + x)$

Étape 4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $999999$ .

$\ln (1 + lim_{x \to 999999} x^{2}) - lim_{x \to 999999} \ln (1 + x)$

Étape 5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\ln (1 + {(lim_{x \to 999999} x)}^{2}) - lim_{x \to 999999} \ln (1 + x)$

Étape 6

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\ln (1 + {(lim_{x \to 999999} x)}^{2}) - \ln (lim_{x \to 999999} 1 + x)$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $999999$ .

$\ln (1 + {(lim_{x \to 999999} x)}^{2}) - \ln (lim_{x \to 999999} 1 + lim_{x \to 999999} x)$

Étape 8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $999999$ .

$\ln (1 + {(lim_{x \to 999999} x)}^{2}) - \ln (1 + lim_{x \to 999999} x)$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $999999$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $999999$ pour $x$ .

$\ln (1 + 999999^{2}) - \ln (1 + lim_{x \to 999999} x)$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $999999$ pour $x$ .

$\ln (1 + 999999^{2}) - \ln (1 + 999999)$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{1 + 999999^{2}}{1 + 999999})$

Étape 10.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.1

Élevez $999999$ à la puissance $2$ .

$\ln (\frac{1 + 999998000001}{1 + 999999})$

Étape 10.2.2

Additionnez $1$ et $999998000001$ .

$\ln (\frac{999998000002}{1 + 999999})$

Étape 10.3

Additionnez $1$ et $999999$ .

$\ln (\frac{999998000002}{1000000})$

Étape 10.4

Annulez le facteur commun à $999998000002$ et $1000000$ .

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Étape 10.4.1

Factorisez $2$ à partir de $999998000002$ .

$\ln (\frac{2 (499999000001)}{1000000})$

Étape 10.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $1000000$ .

$\ln (\frac{2 \cdot 499999000001}{2 \cdot 500000})$

Étape 10.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{2 \cdot 499999000001}{2 \cdot 500000})$

Étape 10.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (\frac{499999000001}{500000})$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\ln (\frac{499999000001}{500000})$

Forme décimale :

$13.81550855 \dots$