Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 90} \frac{\tan (x)}{\tan (3 x)}$

Étape 1

Appliquez des identités trigonométriques.

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Étape 1.1

Réécrivez $\tan (3 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 90} \frac{\tan (x)}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

Étape 1.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 90} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}$

Étape 1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$lim_{x \to 90} \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$

Étape 1.4.2

Convertissez de $\frac{\cos (3 x)}{\sin (3 x)}$ à $\cot (3 x)$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cot (3 x)$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $90$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot lim_{x \to 90} \cot (3 x)$

Étape 2.2

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (lim_{x \to 90} 3 x)$

Étape 2.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (3 lim_{x \to 90} x)$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $90$ pour $x$ .

$lim_{x \to 90} \tan (x) \cdot \cot (3 \cdot 90)$

Étape 4

Regardez la limite côté gauche.

$lim_{x \to 90^{-}} \tan (x)$

Étape 5

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\tan (x)$ lorsque $x$ approche de $90$ par la gauche.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 89.9 & - 2.62003383 \\ 89.99 & - 2.04602439 \\ 89.999 & - 2.00019119 \\ 89.9999 & - 1.99569859 \\ 89.99999 & - 1.99525022 \\ 89.999999 & - 1.99520539 \end{array}$

Étape 6

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $90$ , les valeurs de la fonction approchent de $- 1.995$ . Ainsi, la limite de $\tan (x)$ lorsque $x$ approche de $90$ depuis le côté gauche est $- 1.995$ .

$- 1.995$

Étape 7

Regardez la limite côté droit.

$lim_{x \to 90^{+}} \tan (x)$

Étape 8

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\tan (x)$ lorsque $x$ approche de $90$ par la droite.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 90.1 & - 1.57880772 \\ 90.01 & - 1.9463649 \\ 90.001 & - 1.9902295 \\ 90.0001 & - 1.99470242 \\ 90.00001 & - 1.9951506 \end{array}$

Étape 9

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $90$ , les valeurs de la fonction approchent de $- 1.995$ . Ainsi, la limite de $\tan (x)$ lorsque $x$ approche de $90$ depuis le côté droit est $- 1.995$ .

$- 1.995 \cdot \cot (3 \cdot 90)$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Multipliez $3$ par $90$ .

$- 1.995 \cdot \cot (270)$

Étape 10.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- 1.995 \cdot \cot (90)$

Étape 10.3

La valeur exacte de $\cot (90)$ est $0$ .

$- 1.995 \cdot 0$

Étape 10.4

Multipliez $- 1.995$ par $0$ .

$0$