Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 90} \frac{\sec (x)}{\cot (x)}$

Étape 1

Appliquez des identités trigonométriques.

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Étape 1.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 90} \frac{\sec (x)}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 1.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 90} \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 90} \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 90} \sec (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 1.4.2

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 90} \sec (x) \tan (x)$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $90$ .

$lim_{x \to 90} \sec (x) \cdot lim_{x \to 90} \tan (x)$

Étape 3

Regardez la limite côté gauche.

$lim_{x \to 90^{-}} \sec (x)$

Étape 4

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\sec (x)$ lorsque $x$ approche de $90$ par la gauche.

$\begin{array}{c} x & \sec (x) \\ 89.9 & - 2.80438537 \\ 89.99 & - 2.27732646 \\ 89.999 & - 2.23623899 \\ 89.9999 & - 2.23222151 \\ 89.99999 & - 2.23182065 \end{array}$

Étape 5

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $90$ , les valeurs de la fonction approchent de $- 2.232$ . Ainsi, la limite de $\sec (x)$ lorsque $x$ approche de $90$ depuis le côté gauche est $- 2.232$ .

$- 2.232$

Étape 6

Regardez la limite côté droit.

$lim_{x \to 90^{+}} \sec (x)$

Étape 7

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\sec (x)$ lorsque $x$ approche de $90$ par la droite.

$\begin{array}{c} x & \sec (x) \\ 90.1 & - 1.86885896 \\ 90.01 & - 2.18822675 \\ 90.001 & - 2.22733326 \\ 90.0001 & - 2.23133094 \\ 90.00001 & - 2.2317316 \\ 90.000001 & - 2.23177167 \end{array}$

Étape 8

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $90$ , les valeurs de la fonction approchent de $- 2.232$ . Ainsi, la limite de $\sec (x)$ lorsque $x$ approche de $90$ depuis le côté droit est $- 2.232$ .

$- 2.232 \cdot lim_{x \to 90} \tan (x)$

Étape 9

Regardez la limite côté gauche.

$lim_{x \to 90^{-}} \tan (x)$

Étape 10

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\tan (x)$ lorsque $x$ approche de $90$ par la gauche.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 89.9 & - 2.62003383 \\ 89.99 & - 2.04602439 \\ 89.999 & - 2.00019119 \\ 89.9999 & - 1.99569859 \\ 89.99999 & - 1.99525022 \\ 89.999999 & - 1.99520539 \end{array}$

Étape 11

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $90$ , les valeurs de la fonction approchent de $- 1.995$ . Ainsi, la limite de $\tan (x)$ lorsque $x$ approche de $90$ depuis le côté gauche est $- 1.995$ .

$- 1.995$

Étape 12

Regardez la limite côté droit.

$lim_{x \to 90^{+}} \tan (x)$

Étape 13

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\tan (x)$ lorsque $x$ approche de $90$ par la droite.

$\begin{array}{c} x & \tan (x) \\ 90.1 & - 1.57880772 \\ 90.01 & - 1.9463649 \\ 90.001 & - 1.9902295 \\ 90.0001 & - 1.99470242 \\ 90.00001 & - 1.9951506 \end{array}$

Étape 14

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $90$ , les valeurs de la fonction approchent de $- 1.995$ . Ainsi, la limite de $\tan (x)$ lorsque $x$ approche de $90$ depuis le côté droit est $- 1.995$ .

$- 2.232 \cdot - 1.995$

Étape 15

Multipliez $- 2.232$ par $- 1.995$ .

$4.45284$