Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}$

Étape 1.1.2

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}$

Étape 1.1.3

Lorsque $x$ approche de $\infty$ pour les radicaux, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}$

Étape 1.3.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}$

Étape 1.3.5

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

Étape 1.3.6

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

Étape 1.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}$

Étape 1.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.8.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}$

Étape 1.3.8.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}$

Étape 1.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 1.3.10

Simplifiez

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Étape 1.3.10.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.3.10.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} (2 x^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.5

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} (2 \sqrt{x})$

Étape 1.6

Combinez les facteurs.

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Étape 1.6.1

Associez $2$ et $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} \sqrt{x}$

Étape 1.6.2

Associez $\frac{2}{x}$ et $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{x}}{x}$

Étape 2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} x}$

Étape 3.1.2

Lorsque $x$ approche de $\infty$ pour les radicaux, la valeur passe à $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Étape 3.1.3

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$2 \frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.9

Simplifiez

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Étape 3.3.9.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.9.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Étape 3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 3.5

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

Étape 3.6

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ par $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 (\frac{1}{2}) lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{\sqrt{x}}$ approche de $0$ .

$2 (\frac{1}{2}) \cdot 0$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{1}{2}) \cdot 0$

Étape 6.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 \cdot 0$

Étape 6.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$0$