Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{4 x^{2} + 1}}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.2.2

Divisez $4$ par $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.5

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{4 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.6

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 4 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 2.8

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- \infty$ .

$\frac{1}{- \sqrt{4 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{1}{- \sqrt{4 + 0}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 4.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{4 + 0}}$

Étape 4.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{\sqrt{4 + 0}}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$- \frac{1}{\sqrt{4}}$

Étape 4.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 4.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{1}{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{2}$

Forme décimale :

$- 0.5$