Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} (x) (\frac{10}{x} + \frac{3}{x^{4} - x})$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \frac{10}{x} + \frac{3}{x^{4} - x}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot (lim_{x \to 8} \frac{10}{x} + lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4} - x})$

Étape 3

Placez le terme $10$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot (10 lim_{x \to 8} \frac{1}{x} + lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4} - x})$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot (10 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4} - x})$

Étape 5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot (10 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4} - x})$

Étape 6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot (10 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + 3 lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{4} - x})$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot (10 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + 3 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{4} - x})$

Étape 8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot (10 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + 3 \frac{1}{lim_{x \to 8} x^{4} - x})$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot (10 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + 3 \frac{1}{lim_{x \to 8} x^{4} - lim_{x \to 8} x})$

Étape 10

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$lim_{x \to 8} x \cdot (10 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + 3 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - lim_{x \to 8} x})$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$8 \cdot (10 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + 3 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - lim_{x \to 8} x})$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$8 \cdot (10 (\frac{1}{8}) + 3 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} - lim_{x \to 8} x})$

Étape 11.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$8 \cdot (10 (\frac{1}{8}) + 3 \frac{1}{8^{4} - lim_{x \to 8} x})$

Étape 11.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$8 \cdot (10 (\frac{1}{8}) + 3 \frac{1}{8^{4} - 8})$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$8 \cdot (2 (5) \frac{1}{8} + 3 \frac{1}{8^{4} - 8})$

Étape 12.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$8 \cdot (2 \cdot 5 \frac{1}{2 \cdot 4} + 3 \frac{1}{8^{4} - 8})$

Étape 12.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$8 \cdot (2 \cdot 5 \frac{1}{2 \cdot 4} + 3 \frac{1}{8^{4} - 8})$

Étape 12.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$8 \cdot (5 (\frac{1}{4}) + 3 \frac{1}{8^{4} - 8})$

Étape 12.1.2

Associez $5$ et $\frac{1}{4}$ .

$8 \cdot (\frac{5}{4} + 3 \frac{1}{8^{4} - 8})$

Étape 12.1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.1.3.1

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$8 \cdot (\frac{5}{4} + 3 \frac{1}{4096 - 8})$

Étape 12.1.3.2

Soustrayez $8$ de $4096$ .

$8 \cdot (\frac{5}{4} + 3 (\frac{1}{4088}))$

Étape 12.1.4

Associez $3$ et $\frac{1}{4088}$ .

$8 \cdot (\frac{5}{4} + \frac{3}{4088})$

Étape 12.2

Pour écrire $\frac{5}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1022}{1022}$ .

$8 \cdot (\frac{5}{4} \cdot \frac{1022}{1022} + \frac{3}{4088})$

Étape 12.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4088$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 12.3.1

Multipliez $\frac{5}{4}$ par $\frac{1022}{1022}$ .

$8 \cdot (\frac{5 \cdot 1022}{4 \cdot 1022} + \frac{3}{4088})$

Étape 12.3.2

Multipliez $4$ par $1022$ .

$8 \cdot (\frac{5 \cdot 1022}{4088} + \frac{3}{4088})$

Étape 12.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 \cdot \frac{5 \cdot 1022 + 3}{4088}$

Étape 12.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.5.1

Multipliez $5$ par $1022$ .

$8 \cdot \frac{5110 + 3}{4088}$

Étape 12.5.2

Additionnez $5110$ et $3$ .

$8 \cdot \frac{5113}{4088}$

Étape 12.6

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 12.6.1

Factorisez $8$ à partir de $4088$ .

$8 \cdot \frac{5113}{8 (511)}$

Étape 12.6.2

Annulez le facteur commun.

$8 \cdot \frac{5113}{8 \cdot 511}$

Étape 12.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5113}{511}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{5113}{511}$

Forme décimale :

$10.00587084 \dots$