Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \cos (\frac{π}{x})$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\cos (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

Étape 1.2

Placez le terme $π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\cos (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Étape 1.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\cos (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Étape 1.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\cos (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\cos (π \frac{1}{8})$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Associez $π$ et $\frac{1}{8}$ .

$\cos (\frac{π}{8})$

Étape 3.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{8})$ est $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 3.2.1

Réécrivez $\frac{π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Étape 3.2.2

Appliquez l’identité de demi-angle du cosinus $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Étape 3.2.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le cosinus est positif dans le premier quadrant.

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Étape 3.2.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 3.2.5

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Étape 3.2.5.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 3.2.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 3.2.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 3.2.5.4

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.2.5.4.1

Multipliez $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 3.2.5.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Étape 3.2.5.5

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Étape 3.2.5.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.5.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 3.2.5.6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Forme décimale :

$0.92387953 \dots$