Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} z + 1 - (\frac{z^{3} - 5}{z^{2} - 3})$

Étape 1

Évaluez la limite de $z + 1 - (\frac{z^{3} - 5}{z^{2} - 3})$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$z + 1 - (\frac{z^{3} - 5}{z^{2} - 3})$

Étape 2

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1

Pour écrire $z$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{z^{2} - 3}{z^{2} - 3}$ .

$\frac{z (z^{2} - 3)}{z^{2} - 3} - \frac{z^{3} - 5}{z^{2} - 3} + 1$

Étape 2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{z (z^{2} - 3) - (z^{3} - 5)}{z^{2} - 3} + 1$

Étape 2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{z \cdot z^{2} + z \cdot - 3 - (z^{3} - 5)}{z^{2} - 3} + 1$

Étape 2.3.2

Multipliez $z$ par $z^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $z$ par $z^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Élevez $z$ à la puissance $1$ .

$\frac{z^{1} z^{2} + z \cdot - 3 - (z^{3} - 5)}{z^{2} - 3} + 1$

Étape 2.3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{z^{1 + 2} + z \cdot - 3 - (z^{3} - 5)}{z^{2} - 3} + 1$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{z^{3} + z \cdot - 3 - (z^{3} - 5)}{z^{2} - 3} + 1$

Étape 2.3.3

Déplacez $- 3$ à gauche de $z$ .

$\frac{z^{3} - 3 \cdot z - (z^{3} - 5)}{z^{2} - 3} + 1$

Étape 2.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{z^{3} - 3 z - z^{3} - - 5}{z^{2} - 3} + 1$

Étape 2.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{z^{3} - 3 z - z^{3} + 5}{z^{2} - 3} + 1$

Étape 2.3.6

Soustrayez $z^{3}$ de $z^{3}$ .

$\frac{- 3 z + 0 + 5}{z^{2} - 3} + 1$

Étape 2.3.7

Additionnez $- 3 z$ et $0$ .

$\frac{- 3 z + 5}{z^{2} - 3} + 1$

Étape 2.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{- 3 z + 5}{z^{2} - 3} + \frac{z^{2} - 3}{z^{2} - 3}$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 3 z + 5 + z^{2} - 3}{z^{2} - 3}$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Soustrayez $3$ de $5$ .

$\frac{- 3 z + z^{2} + 2}{z^{2} - 3}$

Étape 2.6.2

Laissez $u = z$ . Remplacez toutes les occurrences de $z$ par $u$ .

$\frac{- 3 u + u^{2} + 2}{z^{2} - 3}$

Étape 2.6.3

Factorisez $- 3 u + u^{2} + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.6.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Étape 2.6.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(u - 2) (u - 1)}{z^{2} - 3}$

Étape 2.6.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $z$ .

$\frac{(z - 2) (z - 1)}{z^{2} - 3}$