Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(\frac{3}{x - 2})}^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{3}{x - 2})}^{3})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \frac{3}{x - 2}$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\frac{3}{x - 2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{3}{x - 2}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x - 2}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\frac{3}{x - 2}$ .

$3 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x - 2}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{3}{x - 2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$ .

$3 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}])$

Étape 3.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x - 2}$ comme ${(x - 2)}^{- 1}$ .

$9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- 1}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x - 2$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x - 2$ .

$9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x - 2$ .

$9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} (- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$- 9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} ({(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

Étape 3.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} ({(x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Étape 3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} ({(x - 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]))$

Étape 3.4.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} ({(x - 2)}^{- 2} (1 + 0))$

Étape 3.4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- 9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} ({(x - 2)}^{- 2} \cdot 1)$

Étape 3.4.5.2

Multipliez ${(x - 2)}^{- 2}$ par $1$ .

$- 9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} {(x - 2)}^{- 2}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 {(\frac{3}{x - 2})}^{2} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{x - 2}$ .

$- 9 \frac{3^{2}}{{(x - 2)}^{2}} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.5.3

Associez des termes.

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Étape 3.5.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- 9 \frac{9}{{(x - 2)}^{2}} \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.5.3.2

Associez $- 9$ et $\frac{9}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 9 \cdot 9}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.5.3.3

Multipliez $- 9$ par $9$ .

$\frac{- 81}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.5.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{81}{{(x - 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.5.3.5

Multipliez $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ par $\frac{81}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{81}{{(x - 2)}^{2} {(x - 2)}^{2}}$

Étape 3.5.3.6

Multipliez ${(x - 2)}^{2}$ par ${(x - 2)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.5.3.6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{81}{{(x - 2)}^{2 + 2}}$

Étape 3.5.3.6.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$- \frac{81}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{81}{{(x - 2)}^{4}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{81}{{(x - 2)}^{4}}$