Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{\ln (x)}{\sqrt[5]{x}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \ln (x)}{lim_{x \to 8} \sqrt[5]{x}}$

Étape 2

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} \sqrt[5]{x}}$

Étape 3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} x)}{\sqrt[5]{lim_{x \to 8} x}}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\ln (8)}{\sqrt[5]{lim_{x \to 8} x}}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\ln (8)}{\sqrt[5]{8}}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{\ln (8)}{\sqrt[5]{8}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$\frac{\ln (8)}{\sqrt[5]{8}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Étape 5.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

Multipliez $\frac{\ln (8)}{\sqrt[5]{8}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{\sqrt[5]{8} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Étape 5.2.2

Élevez $\sqrt[5]{8}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Étape 5.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1 + 4}}$

Étape 5.2.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{5}}$

Étape 5.2.5

Réécrivez ${\sqrt[5]{8}}^{5}$ comme $8$ .

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Étape 5.2.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{8}$ comme $8^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{(8^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Étape 5.2.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Étape 5.2.5.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Étape 5.2.5.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Étape 5.2.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{1}}$

Étape 5.2.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\ln (8) {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8}$

Étape 5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.1

Réécrivez ${\sqrt[5]{8}}^{4}$ comme $\sqrt[5]{8^{4}}$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt[5]{8^{4}}}{8}$

Étape 5.3.2

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt[5]{4096}}{8}$

Étape 5.3.3

Réécrivez $4096$ comme $4^{5} \cdot 4$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $1024$ à partir de $4096$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt[5]{1024 (4)}}{8}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez $1024$ comme $4^{5}$ .

$\frac{\ln (8) \sqrt[5]{4^{5} \cdot 4}}{8}$

Étape 5.3.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\ln (8) \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

Étape 5.4

Réécrivez $\ln (8)$ comme $\ln (2^{3})$ .

$\frac{\ln (2^{3}) \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

Étape 5.5

Développez $\ln (2^{3})$ en déplaçant $3$ hors du logarithme.

$\frac{3 \ln (2) \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

Étape 5.6

Annulez le facteur commun à $4$ et $8$ .

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Étape 5.6.1

Factorisez $4$ à partir de $3 \ln (2) \cdot 4 \sqrt[5]{4}$ .

$\frac{4 (3 \ln (2) \sqrt[5]{4})}{8}$

Étape 5.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{4 (3 \ln (2) \sqrt[5]{4})}{4 \cdot 2}$

Étape 5.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 (3 \ln (2) \sqrt[5]{4})}{4 \cdot 2}$

Étape 5.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \ln (2) \sqrt[5]{4}}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3 \ln (2) \sqrt[5]{4}}{2}$

Forme décimale :

$1.37191978 \dots$