Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 8} \frac{8 x^{4}}{16 x^{4} \cdot (15 x^{3}) + 12 x^{2}}$

Étape 1

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$8 lim_{x \to - 8} \frac{x^{4}}{16 x^{4} \cdot (15 x^{3}) + 12 x^{2}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$8 \frac{lim_{x \to - 8} x^{4}}{lim_{x \to - 8} 16 x^{4} \cdot 15 x^{3} + 12 x^{2}}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$8 \frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{lim_{x \to - 8} 16 x^{4} \cdot 15 x^{3} + 12 x^{2}}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$8 \frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{lim_{x \to - 8} 16 x^{4} \cdot 15 x^{3} + lim_{x \to - 8} 12 x^{2}}$

Étape 5

Placez le terme $16 \cdot 15$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$8 \frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{16 \cdot 15 lim_{x \to - 8} x^{4} x^{3} + lim_{x \to - 8} 12 x^{2}}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$8 \frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{16 \cdot 15 lim_{x \to - 8} x^{4} \cdot lim_{x \to - 8} x^{3} + lim_{x \to - 8} 12 x^{2}}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$8 \frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{16 \cdot 15 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} \cdot lim_{x \to - 8} x^{3} + lim_{x \to - 8} 12 x^{2}}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$8 \frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{16 \cdot 15 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} \cdot {(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} 12 x^{2}}$

Étape 9

Placez le terme $12$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$8 \frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{16 \cdot 15 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} \cdot {(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 12 lim_{x \to - 8} x^{2}}$

Étape 10

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$8 \frac{{(lim_{x \to - 8} x)}^{4}}{16 \cdot 15 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} \cdot {(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 12 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $- 8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$8 \frac{{(- 8)}^{4}}{16 \cdot 15 {(lim_{x \to - 8} x)}^{4} \cdot {(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 12 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$8 \frac{{(- 8)}^{4}}{16 \cdot 15 {(- 8)}^{4} \cdot {(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 12 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}$

Étape 11.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$8 \frac{{(- 8)}^{4}}{16 \cdot 15 {(- 8)}^{4} \cdot {(- 8)}^{3} + 12 {(lim_{x \to - 8} x)}^{2}}$

Étape 11.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$8 \frac{{(- 8)}^{4}}{16 \cdot 15 {(- 8)}^{4} \cdot {(- 8)}^{3} + 12 {(- 8)}^{2}}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Élevez $- 8$ à la puissance $4$ .

$8 \frac{4096}{16 \cdot 15 {(- 8)}^{4} \cdot {(- 8)}^{3} + 12 {(- 8)}^{2}}$

Étape 12.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.1

Multipliez ${(- 8)}^{4}$ par ${(- 8)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.2.1.1

Déplacez ${(- 8)}^{3}$ .

$8 \frac{4096}{16 \cdot 15 ({(- 8)}^{3} {(- 8)}^{4}) + 12 {(- 8)}^{2}}$

Étape 12.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 \frac{4096}{16 \cdot 15 {(- 8)}^{3 + 4} + 12 {(- 8)}^{2}}$

Étape 12.2.1.3

Additionnez $3$ et $4$ .

$8 \frac{4096}{16 \cdot 15 {(- 8)}^{7} + 12 {(- 8)}^{2}}$

Étape 12.2.2

Multipliez $16$ par $15$ .

$8 \frac{4096}{240 {(- 8)}^{7} + 12 {(- 8)}^{2}}$

Étape 12.2.3

Élevez $- 8$ à la puissance $7$ .

$8 \frac{4096}{240 \cdot - 2097152 + 12 {(- 8)}^{2}}$

Étape 12.2.4

Multipliez $240$ par $- 2097152$ .

$8 \frac{4096}{- 503316480 + 12 {(- 8)}^{2}}$

Étape 12.2.5

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$8 \frac{4096}{- 503316480 + 12 \cdot 64}$

Étape 12.2.6

Multipliez $12$ par $64$ .

$8 \frac{4096}{- 503316480 + 768}$

Étape 12.2.7

Additionnez $- 503316480$ et $768$ .

$8 (\frac{4096}{- 503315712})$

Étape 12.3

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 12.3.1

Factorisez $8$ à partir de $- 503315712$ .

$8 \frac{4096}{8 (- 62914464)}$

Étape 12.3.2

Annulez le facteur commun.

$8 \frac{4096}{8 \cdot - 62914464}$

Étape 12.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4096}{- 62914464}$

Étape 12.4

Annulez le facteur commun à $4096$ et $- 62914464$ .

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Étape 12.4.1

Factorisez $32$ à partir de $4096$ .

$\frac{32 (128)}{- 62914464}$

Étape 12.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.4.2.1

Factorisez $32$ à partir de $- 62914464$ .

$\frac{32 \cdot 128}{32 \cdot - 1966077}$

Étape 12.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{32 \cdot 128}{32 \cdot - 1966077}$

Étape 12.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{128}{- 1966077}$

Étape 12.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{128}{1966077}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{128}{1966077}$

Forme décimale :

$- 6.5104266 \cdot 10^{- 5}$