Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 8} \frac{80}{e^{x} - 1}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Placez le terme $80$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$80 lim_{x \to - 8} \frac{1}{e^{x} - 1}$

Étape 1.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$80 \frac{lim_{x \to - 8} 1}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 1}$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$80 \frac{1}{lim_{x \to - 8} e^{x} - 1}$

Étape 1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$80 \frac{1}{lim_{x \to - 8} e^{x} - lim_{x \to - 8} 1}$

Étape 1.5

Placez la limite dans l’exposant.

$80 \frac{1}{e^{lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} 1}$

Étape 1.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$80 \frac{1}{e^{lim_{x \to - 8} x} - 1 \cdot 1}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$80 \frac{1}{e^{- 8} - 1 \cdot 1}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.1

Réécrivez $e^{- 8}$ comme ${(e^{- 4})}^{2}$ .

$80 \frac{1}{{(e^{- 4})}^{2} - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$80 \frac{1}{{(e^{- 4})}^{2} - 1^{2}}$

Étape 3.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e^{- 4}$ et $b = 1$ .

$80 \frac{1}{(e^{- 4} + 1) (e^{- 4} - 1)}$

Étape 3.1.4

Simplifiez

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Étape 3.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) (e^{- 4} - 1)}$

Étape 3.1.4.2

Réécrivez $e^{- 4}$ comme ${(e^{- 2})}^{2}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ({(e^{- 2})}^{2} - 1)}$

Étape 3.1.4.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ({(e^{- 2})}^{2} - 1^{2})}$

Étape 3.1.4.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e^{- 2}$ et $b = 1$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((e^{- 2} + 1) (e^{- 2} - 1))}$

Étape 3.1.4.5

Simplifiez

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Étape 3.1.4.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) (e^{- 2} - 1))}$

Étape 3.1.4.5.2

Réécrivez $e^{- 2}$ comme ${(e^{- 1})}^{2}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ({(e^{- 1})}^{2} - 1))}$

Étape 3.1.4.5.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ({(e^{- 1})}^{2} - 1^{2}))}$

Étape 3.1.4.5.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e^{- 1}$ et $b = 1$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ((e^{- 1} + 1) (e^{- 1} - 1)))}$

Étape 3.1.4.5.5

Simplifiez

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Étape 3.1.4.5.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ((\frac{1}{e} + 1) (e^{- 1} - 1)))}$

Étape 3.1.4.5.5.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) ((\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)))}$

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) ((\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1))}$

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + 1) (\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

Étape 3.1.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$80 \frac{1}{(\frac{1}{e^{4}} + \frac{e^{4}}{e^{4}}) (\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

Étape 3.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} (\frac{1}{e^{2}} + 1) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

Étape 3.1.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} (\frac{1}{e^{2}} + \frac{e^{2}}{e^{2}}) (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

Étape 3.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} (\frac{1}{e} + 1) (\frac{1}{e} - 1)}$

Étape 3.1.9

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} (\frac{1}{e} + \frac{e}{e}) (\frac{1}{e} - 1)}$

Étape 3.1.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} (\frac{1}{e} - 1)}$

Étape 3.1.11

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e}{e}$ .

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} (\frac{1}{e} - 1 \cdot \frac{e}{e})}$

Étape 3.1.12

Associez $- 1$ et $\frac{e}{e}$ .

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} (\frac{1}{e} + \frac{- e}{e})}$

Étape 3.1.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$80 \frac{1}{\frac{1 + e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{1 + e^{2}}{e^{2}} \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

Étape 3.1.14

Associez les exposants.

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Étape 3.1.14.1

Multipliez $\frac{1 + e^{4}}{e^{4}}$ par $\frac{1 + e^{2}}{e^{2}}$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{4} e^{2}} \cdot \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

Étape 3.1.14.2

Multipliez $e^{4}$ par $e^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.14.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{4 + 2}} \cdot \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

Étape 3.1.14.2.2

Additionnez $4$ et $2$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{6}} \cdot \frac{1 + e}{e} \frac{1 - e}{e}}$

Étape 3.1.14.3

Multipliez $\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2})}{e^{6}}$ par $\frac{1 + e}{e}$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{6} e} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

Étape 3.1.14.4

Multipliez $e^{6}$ par $e$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.14.4.1

Multipliez $e^{6}$ par $e$ .

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Étape 3.1.14.4.1.1

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{6} e^{1}} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

Étape 3.1.14.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{6 + 1}} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

Étape 3.1.14.4.2

Additionnez $6$ et $1$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{7}} \cdot \frac{1 - e}{e}}$

Étape 3.1.14.5

Multipliez $\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e)}{e^{7}}$ par $\frac{1 - e}{e}$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{7} e}}$

Étape 3.1.14.6

Multipliez $e^{7}$ par $e$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.14.6.1

Multipliez $e^{7}$ par $e$ .

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Étape 3.1.14.6.1.1

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{7} e^{1}}}$

Étape 3.1.14.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{7 + 1}}}$

Étape 3.1.14.6.2

Additionnez $7$ et $1$ .

$80 \frac{1}{\frac{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{8}}}$

Étape 3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$80 (1 \frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)})$

Étape 3.3

Multipliez $\frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$ par $1$ .

$80 \frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$

Étape 3.4

Associez $80$ et $\frac{e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$ .

$\frac{80 e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{80 e^{8}}{(1 + e^{4}) (1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}$

Forme décimale :

$- 80.02684601 \dots$