Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \sqrt{\frac{12 x^{3} - 5 x + 7}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Étape 1

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt{lim_{x \to 8} \frac{12 x^{3} - 5 x + 7}{1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 12 x^{3} - 5 x + 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 8} 12 x^{3} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Étape 4

Placez le terme $12$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt{\frac{12 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} 5 x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Étape 6

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Étape 7

Évaluez la limite de $7$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{lim_{x \to 8} 1 + 4 x^{2} + 3 x^{3}}}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Étape 9

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + lim_{x \to 8} 4 x^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Étape 10

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Étape 11

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 3 x^{3}}}$

Étape 12

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 8} x^{3}}}$

Étape 13

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt{\frac{12 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Étape 14

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 14.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 lim_{x \to 8} x + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Étape 14.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Étape 14.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{3}}}$

Étape 14.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 8^{3} - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Étape 15

Simplifiez la réponse.

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Étape 15.1

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\sqrt{\frac{12 \cdot 512 - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Étape 15.2

Multipliez $12$ par $512$ .

$\sqrt{\frac{6144 - 5 \cdot 8 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Étape 15.3

Multipliez $- 5$ par $8$ .

$\sqrt{\frac{6144 - 40 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Étape 15.4

Soustrayez $40$ de $6144$ .

$\sqrt{\frac{6104 + 7}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Étape 15.5

Additionnez $6104$ et $7$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 4 \cdot 8^{2} + 3 \cdot 8^{3}}}$

Étape 15.6

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 4 \cdot 64 + 3 \cdot 8^{3}}}$

Étape 15.7

Multipliez $4$ par $64$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 256 + 3 \cdot 8^{3}}}$

Étape 15.8

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 256 + 3 \cdot 512}}$

Étape 15.9

Multipliez $3$ par $512$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1 + 256 + 1536}}$

Étape 15.10

Additionnez $1$ et $256$ .

$\sqrt{\frac{6111}{257 + 1536}}$

Étape 15.11

Additionnez $257$ et $1536$ .

$\sqrt{\frac{6111}{1793}}$

Étape 15.12

Réécrivez $\sqrt{\frac{6111}{1793}}$ comme $\frac{\sqrt{6111}}{\sqrt{1793}}$ .

$\frac{\sqrt{6111}}{\sqrt{1793}}$

Étape 15.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.13.1

Réécrivez $6111$ comme $3^{2} \cdot 679$ .

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Étape 15.13.1.1

Factorisez $9$ à partir de $6111$ .

$\frac{\sqrt{9 (679)}}{\sqrt{1793}}$

Étape 15.13.1.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 679}}{\sqrt{1793}}$

Étape 15.13.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}}$

Étape 15.14

Multipliez $\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}}$ par $\frac{\sqrt{1793}}{\sqrt{1793}}$ .

$\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}} \cdot \frac{\sqrt{1793}}{\sqrt{1793}}$

Étape 15.15

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 15.15.1

Multipliez $\frac{3 \sqrt{679}}{\sqrt{1793}}$ par $\frac{\sqrt{1793}}{\sqrt{1793}}$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{\sqrt{1793} \sqrt{1793}}$

Étape 15.15.2

Élevez $\sqrt{1793}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{1} \sqrt{1793}}$

Étape 15.15.3

Élevez $\sqrt{1793}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{1} {\sqrt{1793}}^{1}}$

Étape 15.15.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{1 + 1}}$

Étape 15.15.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{\sqrt{1793}}^{2}}$

Étape 15.15.6

Réécrivez ${\sqrt{1793}}^{2}$ comme $1793$ .

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Étape 15.15.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1793}$ comme $1793^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{{(1793^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 15.15.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 15.15.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{\frac{2}{2}}}$

Étape 15.15.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.15.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{\frac{2}{2}}}$

Étape 15.15.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793^{1}}$

Étape 15.15.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3 \sqrt{679} \sqrt{1793}}{1793}$

Étape 15.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.16.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3 \sqrt{1793 \cdot 679}}{1793}$

Étape 15.16.2

Multipliez $1793$ par $679$ .

$\frac{3 \sqrt{1217447}}{1793}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3 \sqrt{1217447}}{1793}$

Forme décimale :

$1.84614580 \dots$