Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{\sin (2 x)}{e^{x} - 3 x - 1}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sin (2 x)}{lim_{x \to 8} e^{x} - 3 x - 1}$

Étape 2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 8} 2 x)}{lim_{x \to 8} e^{x} - 3 x - 1}$

Étape 3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} e^{x} - 3 x - 1}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} e^{x} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 1}$

Étape 5

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{e^{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 3 x - lim_{x \to 8} 1}$

Étape 6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{e^{lim_{x \to 8} x} - 3 lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1}$

Étape 7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 8} x)}{e^{lim_{x \to 8} x} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 8)}{e^{lim_{x \to 8} x} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 8)}{e^{8} - 3 lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1}$

Étape 8.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 8)}{e^{8} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 1}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{\sin (16)}{e^{8} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 1}$

Étape 9.1.2

Évaluez $\sin (16)$ .

$\frac{0.27563735}{e^{8} - 3 \cdot 8 - 1 \cdot 1}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Multipliez $- 3$ par $8$ .

$\frac{0.27563735}{e^{8} - 24 - 1 \cdot 1}$

Étape 9.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0.27563735}{e^{8} - 24 - 1}$

Étape 9.2.3

Soustrayez $1$ de $- 24$ .

$\frac{0.27563735}{e^{8} - 25}$

Étape 9.2.4

Réécrivez $e^{8} - 25$ en forme factorisée.

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Étape 9.2.4.1

Réécrivez $e^{8}$ comme ${(e^{4})}^{2}$ .

$\frac{0.27563735}{{(e^{4})}^{2} - 25}$

Étape 9.2.4.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{0.27563735}{{(e^{4})}^{2} - 5^{2}}$

Étape 9.2.4.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = e^{4}$ et $b = 5$ .

$\frac{0.27563735}{(e^{4} + 5) (e^{4} - 5)}$

Étape 9.3

Remplacez $e$ par une approximation.

$\frac{0.27563735}{({2.71828182}^{4} + 5) (e^{4} - 5)}$

Étape 9.4

Élevez $2.71828182$ à la puissance $4$ .

$\frac{0.27563735}{(54.59815003 + 5) (e^{4} - 5)}$

Étape 9.5

Additionnez $54.59815003$ et $5$ .

$\frac{0.27563735}{59.59815003 (e^{4} - 5)}$

Étape 9.6

Remplacez $e$ par une approximation.

$\frac{0.27563735}{59.59815003 ({2.71828182}^{4} - 5)}$

Étape 9.7

Élevez $2.71828182$ à la puissance $4$ .

$\frac{0.27563735}{59.59815003 (54.59815003 - 5)}$

Étape 9.8

Soustrayez $5$ de $54.59815003$ .

$\frac{0.27563735}{59.59815003 \cdot 49.59815003}$

Étape 9.9

Multipliez $59.59815003$ par $49.59815003$ .

$\frac{0.27563735}{2955.95798704}$

Étape 9.10

Divisez $0.27563735$ par $2955.95798704$ .

$0.00009324$