Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} 2 + \frac{132}{x} + \frac{\sin^{4} (x^{5})}{x^{4}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} \frac{132}{x} + lim_{x \to 8} \frac{\sin^{4} (x^{5})}{x^{4}}$

Étape 2

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$2 + lim_{x \to 8} \frac{132}{x} + lim_{x \to 8} \frac{\sin^{4} (x^{5})}{x^{4}}$

Étape 3

Placez le terme $132$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 + 132 lim_{x \to 8} \frac{1}{x} + lim_{x \to 8} \frac{\sin^{4} (x^{5})}{x^{4}}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$2 + 132 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} \frac{\sin^{4} (x^{5})}{x^{4}}$

Étape 5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$2 + 132 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} \frac{\sin^{4} (x^{5})}{x^{4}}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$2 + 132 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + \frac{lim_{x \to 8} \sin^{4} (x^{5})}{lim_{x \to 8} x^{4}}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $4$ de $\sin^{4} (x^{5})$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 + 132 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + \frac{{(lim_{x \to 8} \sin (x^{5}))}^{4}}{lim_{x \to 8} x^{4}}$

Étape 8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$2 + 132 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + \frac{\sin^{4} (lim_{x \to 8} x^{5})}{lim_{x \to 8} x^{4}}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $5$ de $x^{5}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 + 132 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + \frac{\sin^{4} ({(lim_{x \to 8} x)}^{5})}{lim_{x \to 8} x^{4}}$

Étape 10

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 + 132 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} + \frac{\sin^{4} ({(lim_{x \to 8} x)}^{5})}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

Étape 11

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 11.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$2 + 132 (\frac{1}{8}) + \frac{\sin^{4} ({(lim_{x \to 8} x)}^{5})}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

Étape 11.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$2 + 132 (\frac{1}{8}) + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}}$

Étape 11.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$2 + 132 (\frac{1}{8}) + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{8^{4}}$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 12.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $132$ .

$2 + 4 (33) \frac{1}{8} + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{8^{4}}$

Étape 12.1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$2 + 4 \cdot 33 \frac{1}{4 \cdot 2} + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{8^{4}}$

Étape 12.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$2 + 4 \cdot 33 \frac{1}{4 \cdot 2} + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{8^{4}}$

Étape 12.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$2 + 33 (\frac{1}{2}) + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{8^{4}}$

Étape 12.1.2

Associez $33$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 + \frac{33}{2} + \frac{\sin^{4} (8^{5})}{8^{4}}$

Étape 12.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.3.1

Élevez $8$ à la puissance $5$ .

$2 + \frac{33}{2} + \frac{\sin^{4} (32768)}{8^{4}}$

Étape 12.1.3.2

Remove full rotations of $360$ ° until the angle is between $0$ ° and $360$ °.

$2 + \frac{33}{2} + \frac{\sin^{4} (8)}{8^{4}}$

Étape 12.1.3.3

Évaluez $\sin (8)$ .

$2 + \frac{33}{2} + \frac{{0.1391731}^{4}}{8^{4}}$

Étape 12.1.3.4

Élevez $0.1391731$ à la puissance $4$ .

$2 + \frac{33}{2} + \frac{0.00037516}{8^{4}}$

Étape 12.1.4

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$2 + \frac{33}{2} + \frac{0.00037516}{4096}$

Étape 12.1.5

Divisez $0.00037516$ par $4096$ .

$2 + \frac{33}{2} + 0.00000009$

Étape 12.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 12.2.1

Écrivez $2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{2}{1} + \frac{33}{2} + 0.00000009$

Étape 12.2.2

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{33}{2} + 0.00000009$

Étape 12.2.3

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{33}{2} + 0.00000009$

Étape 12.2.4

Écrivez $0.00000009$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{33}{2} + \frac{0.00000009}{1}$

Étape 12.2.5

Multipliez $\frac{0.00000009}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{33}{2} + \frac{0.00000009}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 12.2.6

Multipliez $\frac{0.00000009}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{33}{2} + \frac{0.00000009 \cdot 2}{2}$

Étape 12.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 \cdot 2 + 33 + 0.00000009 \cdot 2}{2}$

Étape 12.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 + 33 + 0.00000009 \cdot 2}{2}$

Étape 12.4.2

Multipliez $0.00000009$ par $2$ .

$\frac{4 + 33 + 0.00000018}{2}$

Étape 12.5

Additionnez $4$ et $33$ .

$\frac{37 + 0.00000018}{2}$

Étape 12.6

Additionnez $37$ et $0.00000018$ .

$\frac{37.00000018}{2}$

Étape 12.7

Divisez $37.00000018$ par $2$ .

$18.50000009$