Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} x^{- 8} - 20000 x^{- 4}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$lim_{x \to 8} x^{- 8} - lim_{x \to 8} 20000 x^{- 4}$

Étape 2

Déplacez l’exposant $- 8$ de $x^{- 8}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{x \to 8} x)}^{- 8} - lim_{x \to 8} 20000 x^{- 4}$

Étape 3

Placez le terme $20000$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

${(lim_{x \to 8} x)}^{- 8} - 20000 lim_{x \to 8} x^{- 4}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $- 4$ de $x^{- 4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{x \to 8} x)}^{- 8} - 20000 {(lim_{x \to 8} x)}^{- 4}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$8^{- 8} - 20000 {(lim_{x \to 8} x)}^{- 4}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$8^{- 8} - 20000 \cdot 8^{- 4}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{8^{8}} - 20000 \cdot 8^{- 4}$

Étape 6.1.2

Élevez $8$ à la puissance $8$ .

$\frac{1}{16777216} - 20000 \cdot 8^{- 4}$

Étape 6.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{16777216} - 20000 \cdot \frac{1}{8^{4}}$

Étape 6.1.4

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{16777216} - 20000 \cdot \frac{1}{4096}$

Étape 6.1.5

Annulez le facteur commun de $32$ .

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Étape 6.1.5.1

Factorisez $32$ à partir de $- 20000$ .

$\frac{1}{16777216} + 32 (- 625) \cdot \frac{1}{4096}$

Étape 6.1.5.2

Factorisez $32$ à partir de $4096$ .

$\frac{1}{16777216} + 32 \cdot - 625 \cdot \frac{1}{32 \cdot 128}$

Étape 6.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{16777216} + 32 \cdot - 625 \cdot \frac{1}{32 \cdot 128}$

Étape 6.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{16777216} - 625 \cdot \frac{1}{128}$

Étape 6.1.6

Associez $- 625$ et $\frac{1}{128}$ .

$\frac{1}{16777216} + \frac{- 625}{128}$

Étape 6.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{16777216} - \frac{625}{128}$

Étape 6.2

Pour écrire $- \frac{625}{128}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{131072}{131072}$ .

$\frac{1}{16777216} - \frac{625}{128} \cdot \frac{131072}{131072}$

Étape 6.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16777216$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez $\frac{625}{128}$ par $\frac{131072}{131072}$ .

$\frac{1}{16777216} - \frac{625 \cdot 131072}{128 \cdot 131072}$

Étape 6.3.2

Multipliez $128$ par $131072$ .

$\frac{1}{16777216} - \frac{625 \cdot 131072}{16777216}$

Étape 6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 625 \cdot 131072}{16777216}$

Étape 6.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.5.1

Multipliez $- 625$ par $131072$ .

$\frac{1 - 81920000}{16777216}$

Étape 6.5.2

Soustrayez $81920000$ de $1$ .

$\frac{- 81919999}{16777216}$

Étape 6.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{81919999}{16777216}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{81919999}{16777216}$

Forme décimale :

$- 4.88281244 \dots$