Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} (1) \cdot \frac{1}{115 \sqrt{2 p}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{1}{115 \sqrt{2 p}}$ par $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{115 \sqrt{2 p}} \cdot (e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{x - 512}{115})}^{2})$

Étape 1.2

Placez le terme $\frac{1}{115 \sqrt{2 p}} e^{- \frac{1}{2}}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{115 \sqrt{2 p}} e^{- \frac{1}{2}} lim_{x \to 8} {(\frac{x - 512}{115})}^{2}$

Étape 1.3

Déplacez l’exposant $2$ de ${(\frac{x - 512}{115})}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{115 \sqrt{2 p}} e^{- \frac{1}{2}} {(lim_{x \to 8} \frac{x - 512}{115})}^{2}$

Étape 1.4

Placez le terme $\frac{1}{115}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{115 \sqrt{2 p}} e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{1}{115} lim_{x \to 8} x - 512)}^{2}$

Étape 1.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{1}{115 \sqrt{2 p}} e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{1}{115} (lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 512))}^{2}$

Étape 1.6

Évaluez la limite de $512$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{1}{115 \sqrt{2 p}} e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{1}{115} (lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 512))}^{2}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{1}{115 \sqrt{2 p}} e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{1}{115} (8 - 1 \cdot 512))}^{2}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{115 \sqrt{2 p}}$ par $\frac{\sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}}$ .

$\frac{1}{115 \sqrt{2 p}} \cdot \frac{\sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}} e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{1}{115} (8 - 1 \cdot 512))}^{2}$

Étape 3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Multipliez $\frac{1}{115 \sqrt{2 p}}$ par $\frac{\sqrt{2 p}}{\sqrt{2 p}}$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{115 \sqrt{2 p} \sqrt{2 p}} e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{1}{115} (8 - 1 \cdot 512))}^{2}$

Étape 3.2.2

Déplacez $\sqrt{2 p}$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{115 (\sqrt{2 p} \sqrt{2 p})} e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{1}{115} (8 - 1 \cdot 512))}^{2}$

Étape 3.2.3

Élevez $\sqrt{2 p}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{115 ({\sqrt{2 p}}^{1} \sqrt{2 p})} e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{1}{115} (8 - 1 \cdot 512))}^{2}$

Étape 3.2.4

Élevez $\sqrt{2 p}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{115 ({\sqrt{2 p}}^{1} {\sqrt{2 p}}^{1})} e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{1}{115} (8 - 1 \cdot 512))}^{2}$

Étape 3.2.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{2 p}}{115 {\sqrt{2 p}}^{1 + 1}} e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{1}{115} (8 - 1 \cdot 512))}^{2}$

Étape 3.2.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{115 {\sqrt{2 p}}^{2}} e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{1}{115} (8 - 1 \cdot 512))}^{2}$

Étape 3.2.7

Réécrivez ${\sqrt{2 p}}^{2}$ comme $2 p$ .

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Étape 3.2.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 p}$ comme ${(2 p)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{115 {({(2 p)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{1}{115} (8 - 1 \cdot 512))}^{2}$

Étape 3.2.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{1}{115} (8 - 1 \cdot 512))}^{2}$

Étape 3.2.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{\frac{2}{2}}} e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{1}{115} (8 - 1 \cdot 512))}^{2}$

Étape 3.2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{\frac{2}{2}}} e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{1}{115} (8 - 1 \cdot 512))}^{2}$

Étape 3.2.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2 p}}{115 {(2 p)}^{1}} e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{1}{115} (8 - 1 \cdot 512))}^{2}$

Étape 3.2.7.5

Simplifiez

$\frac{\sqrt{2 p}}{115 (2 p)} e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{1}{115} (8 - 1 \cdot 512))}^{2}$

Étape 3.3

Multipliez $115$ par $2$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} e^{- \frac{1}{2}} {(\frac{1}{115} (8 - 1 \cdot 512))}^{2}$

Étape 3.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{230 p} \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} {(\frac{1}{115} (8 - 1 \cdot 512))}^{2}$

Étape 3.5

Associez.

$\frac{\sqrt{2 p} \cdot 1}{230 p e^{\frac{1}{2}}} {(\frac{1}{115} (8 - 1 \cdot 512))}^{2}$

Étape 3.6

Multipliez $\sqrt{2 p}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{230 p e^{\frac{1}{2}}} {(\frac{1}{115} (8 - 1 \cdot 512))}^{2}$

Étape 3.7

Multipliez $- 1$ par $512$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{230 p e^{\frac{1}{2}}} {(\frac{1}{115} (8 - 512))}^{2}$

Étape 3.8

Soustrayez $512$ de $8$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{230 p e^{\frac{1}{2}}} {(\frac{1}{115} \cdot - 504)}^{2}$

Étape 3.9

Associez $\frac{1}{115}$ et $- 504$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{230 p e^{\frac{1}{2}}} {(\frac{- 504}{115})}^{2}$

Étape 3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\sqrt{2 p}}{230 p e^{\frac{1}{2}}} {(- \frac{504}{115})}^{2}$

Étape 3.11

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.11.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{504}{115}$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{230 p e^{\frac{1}{2}}} ({(- 1)}^{2} {(\frac{504}{115})}^{2})$

Étape 3.11.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{504}{115}$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{230 p e^{\frac{1}{2}}} ({(- 1)}^{2} \frac{504^{2}}{115^{2}})$

Étape 3.12

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{230 p e^{\frac{1}{2}}} (1 \frac{504^{2}}{115^{2}})$

Étape 3.13

Multipliez $\frac{504^{2}}{115^{2}}$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{2 p}}{230 p e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{504^{2}}{115^{2}}$

Étape 3.14

Associez.

$\frac{\sqrt{2 p} \cdot 504^{2}}{230 p e^{\frac{1}{2}} \cdot 115^{2}}$

Étape 3.15

Élevez $504$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{2 p} \cdot 254016}{230 p e^{\frac{1}{2}} \cdot 115^{2}}$

Étape 3.16

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.16.1

Élevez $115$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt{2 p} \cdot 254016}{230 p e^{\frac{1}{2}} \cdot 13225}$

Étape 3.16.2

Multipliez $13225$ par $230$ .

$\frac{\sqrt{2 p} \cdot 254016}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.17

Factorisez $2$ à partir de $\sqrt{2 p} \cdot 254016$ .

$\frac{2 (\sqrt{2 p} \cdot 127008)}{3041750 p e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.18

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.18.1

Factorisez $2$ à partir de $3041750 p e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (\sqrt{2 p} \cdot 127008)}{2 (1520875 p e^{\frac{1}{2}})}$

Étape 3.18.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (\sqrt{2 p} \cdot 127008)}{2 (1520875 p e^{\frac{1}{2}})}$

Étape 3.18.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{2 p} \cdot 127008}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.19

Déplacez $127008$ à gauche de $\sqrt{2 p}$ .

$\frac{127008 \sqrt{2 p}}{1520875 p e^{\frac{1}{2}}}$