Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} x^{\frac{6}{x}}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez $x^{\frac{6}{x}}$ comme $e^{\ln (x^{\frac{6}{x}})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln (x^{\frac{6}{x}})}$

Étape 1.2

Développez $\ln (x^{\frac{6}{x}})$ en déplaçant $\frac{6}{x}$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 8} e^{\frac{6}{x} \ln (x)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 8} \frac{6}{x} \ln (x)}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} \frac{6}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}$

Étape 2.3

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{6 lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{6 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{6 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (x)}$

Étape 2.6

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{6 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$e^{6 (\frac{1}{8}) \cdot \ln (lim_{x \to 8} x)}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$e^{6 (\frac{1}{8}) \cdot \ln (8)}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$e^{2 (3) \frac{1}{8} \cdot \ln (8)}$

Étape 4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$e^{2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \ln (8)}$

Étape 4.1.3

Annulez le facteur commun.

$e^{2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \ln (8)}$

Étape 4.1.4

Réécrivez l’expression.

$e^{3 (\frac{1}{4}) \cdot \ln (8)}$

Étape 4.2

Associez $3$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{\frac{3}{4} \cdot \ln (8)}$

Étape 4.3

Associez $\frac{3}{4}$ et $\ln (8)$ .

$e^{\frac{3 \ln (8)}{4}}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$e^{\frac{3 \ln (8)}{4}}$

Forme décimale :

$4.75682846 \dots$