Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} \sqrt{x^{2} - 1}}$

Étape 2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} - 1}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} 1}}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} 1}}$

Étape 5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} x}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8}{\sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 1 \cdot 1}}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\frac{8}{\sqrt{8^{2} - 1 \cdot 1}}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{8}{\sqrt{64 - 1 \cdot 1}}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{8}{\sqrt{64 - 1}}$

Étape 7.1.3

Soustrayez $1$ de $64$ .

$\frac{8}{\sqrt{63}}$

Étape 7.1.4

Réécrivez $63$ comme $3^{2} \cdot 7$ .

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Étape 7.1.4.1

Factorisez $9$ à partir de $63$ .

$\frac{8}{\sqrt{9 (7)}}$

Étape 7.1.4.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{8}{\sqrt{3^{2} \cdot 7}}$

Étape 7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{8}{3 \sqrt{7}}$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{8}{3 \sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{8}{3 \sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Étape 7.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.1

Multipliez $\frac{8}{3 \sqrt{7}}$ par $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$\frac{8 \sqrt{7}}{3 \sqrt{7} \sqrt{7}}$

Étape 7.3.2

Déplacez $\sqrt{7}$ .

$\frac{8 \sqrt{7}}{3 (\sqrt{7} \sqrt{7})}$

Étape 7.3.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 \sqrt{7}}{3 ({\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7})}$

Étape 7.3.4

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$\frac{8 \sqrt{7}}{3 ({\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1})}$

Étape 7.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{8 \sqrt{7}}{3 {\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Étape 7.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{8 \sqrt{7}}{3 {\sqrt{7}}^{2}}$

Étape 7.3.7

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 7.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 \sqrt{7}}{3 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 7.3.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \sqrt{7}}{3 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 7.3.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{8 \sqrt{7}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \sqrt{7}}{3 \cdot 7^{\frac{2}{2}}}$

Étape 7.3.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{8 \sqrt{7}}{3 \cdot 7^{1}}$

Étape 7.3.7.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{8 \sqrt{7}}{3 \cdot 7}$

Étape 7.4

Multipliez $3$ par $7$ .

$\frac{8 \sqrt{7}}{21}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{8 \sqrt{7}}{21}$

Forme décimale :

$1.00790526 \dots$