Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{3} + x} - \sqrt[3]{x^{3} + 1}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{3} + x} - lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{3} + 1}$

Étape 2

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{3} + x} - lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{3} + 1}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{3} + lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{3} + 1}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} x} - lim_{x \to - 8} \sqrt[3]{x^{3} + 1}$

Étape 5

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} x} - \sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{3} + 1}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} x} - \sqrt[3]{lim_{x \to - 8} x^{3} + lim_{x \to - 8} 1}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} x} - \sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} 1}$

Étape 8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 8$ .

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + lim_{x \to - 8} x} - \sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1}$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $- 8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + lim_{x \to - 8} x} - \sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\sqrt[3]{{(- 8)}^{3} - 8} - \sqrt[3]{{(lim_{x \to - 8} x)}^{3} + 1}$

Étape 9.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 8$ pour $x$ .

$\sqrt[3]{{(- 8)}^{3} - 8} - \sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + 1}$

Étape 10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1

Élevez $- 8$ à la puissance $3$ .

$\sqrt[3]{- 512 - 8} - \sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + 1}$

Étape 10.2

Soustrayez $8$ de $- 512$ .

$\sqrt[3]{- 520} - \sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + 1}$

Étape 10.3

Réécrivez $- 520$ comme ${(- 2)}^{3} \cdot 65$ .

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Étape 10.3.1

Factorisez $- 8$ à partir de $- 520$ .

$\sqrt[3]{- 8 (65)} - \sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + 1}$

Étape 10.3.2

Réécrivez $- 8$ comme ${(- 2)}^{3}$ .

$\sqrt[3]{{(- 2)}^{3} \cdot 65} - \sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + 1}$

Étape 10.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$- 2 \sqrt[3]{65} - \sqrt[3]{{(- 8)}^{3} + 1}$

Étape 10.5

Élevez $- 8$ à la puissance $3$ .

$- 2 \sqrt[3]{65} - \sqrt[3]{- 512 + 1}$

Étape 10.6

Additionnez $- 512$ et $1$ .

$- 2 \sqrt[3]{65} - \sqrt[3]{- 511}$

Étape 10.7

Réécrivez $- 511$ comme ${(- 1)}^{3} \cdot 511$ .

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Étape 10.7.1

Réécrivez $- 511$ comme $- 1 (511)$ .

$- 2 \sqrt[3]{65} - \sqrt[3]{- 1 (511)}$

Étape 10.7.2

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$- 2 \sqrt[3]{65} - \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 511}$

Étape 10.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$- 2 \sqrt[3]{65} - (- 1 \sqrt[3]{511})$

Étape 10.9

Réécrivez $- 1 \sqrt[3]{511}$ comme $- \sqrt[3]{511}$ .

$- 2 \sqrt[3]{65} - - \sqrt[3]{511}$

Étape 10.10

Multipliez $- - \sqrt[3]{511}$ .

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Étape 10.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 2 \sqrt[3]{65} + 1 \sqrt[3]{511}$

Étape 10.10.2

Multipliez $\sqrt[3]{511}$ par $1$ .

$- 2 \sqrt[3]{65} + \sqrt[3]{511}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 2 \sqrt[3]{65} + \sqrt[3]{511}$

Forme décimale :

$- 0.04666324 \dots$