Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{\frac{8 x^{3} - x}{x^{3} + 1}}$

Étape 1

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} \frac{8 x^{3} - x}{x^{3} + 1}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 8 x^{3} - x}{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 8 x^{3} - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

Étape 4

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{8 lim_{x \to 8} x^{3} - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt[3]{\frac{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt[3]{\frac{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} x}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

Étape 8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{8 {(lim_{x \to 8} x)}^{3} - lim_{x \to 8} x}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 8^{3} - lim_{x \to 8} x}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 8^{3} - 8}{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

Étape 9.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{8 \cdot 8^{3} - 8}{8^{3} + 1}}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Multipliez $8$ par $8^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.1.1

Multipliez $8$ par $8^{3}$ .

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Étape 10.1.1.1

Élevez $8$ à la puissance $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{8^{1} \cdot 8^{3} - 8}{8^{3} + 1}}$

Étape 10.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt[3]{\frac{8^{1 + 3} - 8}{8^{3} + 1}}$

Étape 10.1.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{8^{4} - 8}{8^{3} + 1}}$

Étape 10.2

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{4096 - 8}{8^{3} + 1}}$

Étape 10.3

Soustrayez $8$ de $4096$ .

$\sqrt[3]{\frac{4088}{8^{3} + 1}}$

Étape 10.4

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{4088}{512 + 1}}$

Étape 10.5

Additionnez $512$ et $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{4088}{513}}$

Étape 10.6

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{4088}{513}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{4088}}{\sqrt[3]{513}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{4088}}{\sqrt[3]{513}}$

Étape 10.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.7.1

Réécrivez $4088$ comme $2^{3} \cdot 511$ .

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Étape 10.7.1.1

Factorisez $8$ à partir de $4088$ .

$\frac{\sqrt[3]{8 (511)}}{\sqrt[3]{513}}$

Étape 10.7.1.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{3} \cdot 511}}{\sqrt[3]{513}}$

Étape 10.7.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt[3]{511}}{\sqrt[3]{513}}$

Étape 10.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.8.1

Réécrivez $513$ comme $3^{3} \cdot 19$ .

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Étape 10.8.1.1

Factorisez $27$ à partir de $513$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511}}{\sqrt[3]{27 (19)}}$

Étape 10.8.1.2

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511}}{\sqrt[3]{3^{3} \cdot 19}}$

Étape 10.8.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{2 \sqrt[3]{511}}{3 \sqrt[3]{19}}$

Étape 10.9

Multipliez $\frac{2 \sqrt[3]{511}}{3 \sqrt[3]{19}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511}}{3 \sqrt[3]{19}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$

Étape 10.10

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.10.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt[3]{511}}{3 \sqrt[3]{19}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \sqrt[3]{19} {\sqrt[3]{19}}^{2}}$

Étape 10.10.2

Déplacez $\sqrt[3]{19}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 (\sqrt[3]{19} {\sqrt[3]{19}}^{2})}$

Étape 10.10.3

Élevez $\sqrt[3]{19}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 ({\sqrt[3]{19}}^{1} {\sqrt[3]{19}}^{2})}$

Étape 10.10.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 {\sqrt[3]{19}}^{1 + 2}}$

Étape 10.10.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 {\sqrt[3]{19}}^{3}}$

Étape 10.10.6

Réécrivez ${\sqrt[3]{19}}^{3}$ comme $19$ .

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Étape 10.10.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{19}$ comme $19^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 {(19^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 10.10.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 10.10.6.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{\frac{3}{3}}}$

Étape 10.10.6.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 10.10.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{\frac{3}{3}}}$

Étape 10.10.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19^{1}}$

Étape 10.10.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt[3]{511} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{3 \cdot 19}$

Étape 10.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.11.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{19}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{19^{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} \sqrt[3]{19^{2}}}{3 \cdot 19}$

Étape 10.11.2

Élevez $19$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{511} \sqrt[3]{361}}{3 \cdot 19}$

Étape 10.11.3

Associez les exposants.

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Étape 10.11.3.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{2 \sqrt[3]{361 \cdot 511}}{3 \cdot 19}$

Étape 10.11.3.2

Multipliez $361$ par $511$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{184471}}{3 \cdot 19}$

Étape 10.12

Multipliez $3$ par $19$ .

$\frac{2 \sqrt[3]{184471}}{57}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 \sqrt[3]{184471}}{57}$

Forme décimale :

$1.99739752 \dots$