Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{\frac{6 + 9 x + 3 x^{2}}{1 + 8 x^{2}}}$

Étape 1

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} \frac{6 + 9 x + 3 x^{2}}{1 + 8 x^{2}}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 6 + 9 x + 3 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 8 x^{2}}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 6 + lim_{x \to 8} 9 x + lim_{x \to 8} 3 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 8 x^{2}}}$

Étape 4

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + lim_{x \to 8} 9 x + lim_{x \to 8} 3 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 8 x^{2}}}$

Étape 5

Placez le terme $9$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 3 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 8 x^{2}}}$

Étape 6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 lim_{x \to 8} x + 3 lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 8 x^{2}}}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 lim_{x \to 8} x + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 8 x^{2}}}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 lim_{x \to 8} x + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 8 x^{2}}}$

Étape 9

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 lim_{x \to 8} x + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + lim_{x \to 8} 8 x^{2}}}$

Étape 10

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 lim_{x \to 8} x + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + 8 lim_{x \to 8} x^{2}}}$

Étape 11

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 lim_{x \to 8} x + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 \cdot 8 + 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 \cdot 8 + 3 \cdot 8^{2}}{1 + 8 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Étape 12.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 9 \cdot 8 + 3 \cdot 8^{2}}{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Multipliez $9$ par $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 72 + 3 \cdot 8^{2}}{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Étape 13.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 72 + 3 \cdot 64}{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Étape 13.3

Multipliez $3$ par $64$ .

$\sqrt[3]{\frac{6 + 72 + 192}{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Étape 13.4

Additionnez $6$ et $72$ .

$\sqrt[3]{\frac{78 + 192}{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Étape 13.5

Additionnez $78$ et $192$ .

$\sqrt[3]{\frac{270}{1 + 8 \cdot 8^{2}}}$

Étape 13.6

Multipliez $8$ par $8^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.6.1

Multipliez $8$ par $8^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.6.1.1

Élevez $8$ à la puissance $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{270}{1 + 8^{1} \cdot 8^{2}}}$

Étape 13.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sqrt[3]{\frac{270}{1 + 8^{1 + 2}}}$

Étape 13.6.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{270}{1 + 8^{3}}}$

Étape 13.7

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\sqrt[3]{\frac{270}{1 + 512}}$

Étape 13.8

Additionnez $1$ et $512$ .

$\sqrt[3]{\frac{270}{513}}$

Étape 13.9

Annulez le facteur commun à $270$ et $513$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.9.1

Factorisez $27$ à partir de $270$ .

$\sqrt[3]{\frac{27 (10)}{513}}$

Étape 13.9.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.9.2.1

Factorisez $27$ à partir de $513$ .

$\sqrt[3]{\frac{27 \cdot 10}{27 \cdot 19}}$

Étape 13.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt[3]{\frac{27 \cdot 10}{27 \cdot 19}}$

Étape 13.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt[3]{\frac{10}{19}}$

Étape 13.10

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{10}{19}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{10}}{\sqrt[3]{19}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{10}}{\sqrt[3]{19}}$

Étape 13.11

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{10}}{\sqrt[3]{19}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{10}}{\sqrt[3]{19}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$

Étape 13.12

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.12.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{10}}{\sqrt[3]{19}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{\sqrt[3]{19} {\sqrt[3]{19}}^{2}}$

Étape 13.12.2

Élevez $\sqrt[3]{19}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{1} {\sqrt[3]{19}}^{2}}$

Étape 13.12.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{1 + 2}}$

Étape 13.12.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{{\sqrt[3]{19}}^{3}}$

Étape 13.12.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{19}}^{3}$ comme $19$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.12.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{19}$ comme $19^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{{(19^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 13.12.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{19^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 13.12.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{19^{\frac{3}{3}}}$

Étape 13.12.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.12.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{19^{\frac{3}{3}}}$

Étape 13.12.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{19^{1}}$

Étape 13.12.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt[3]{10} {\sqrt[3]{19}}^{2}}{19}$

Étape 13.13

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.13.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{19}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{19^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{10} \sqrt[3]{19^{2}}}{19}$

Étape 13.13.2

Élevez $19$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{10} \sqrt[3]{361}}{19}$

Étape 13.14

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.14.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt[3]{10 \cdot 361}}{19}$

Étape 13.14.2

Multipliez $10$ par $361$ .

$\frac{\sqrt[3]{3610}}{19}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt[3]{3610}}{19}$

Forme décimale :

$0.80738770 \dots$