Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{\frac{3 + 6 x + 5 x^{2}}{1 + 64 x^{2}}}$

Étape 1

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} \frac{3 + 6 x + 5 x^{2}}{1 + 64 x^{2}}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 3 + 6 x + 5 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 64 x^{2}}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{lim_{x \to 8} 3 + lim_{x \to 8} 6 x + lim_{x \to 8} 5 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 64 x^{2}}}$

Étape 4

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + lim_{x \to 8} 6 x + lim_{x \to 8} 5 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 64 x^{2}}}$

Étape 5

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 5 x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 64 x^{2}}}$

Étape 6

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + 5 lim_{x \to 8} x^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 64 x^{2}}}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + 64 x^{2}}}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{lim_{x \to 8} 1 + lim_{x \to 8} 64 x^{2}}}$

Étape 9

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + lim_{x \to 8} 64 x^{2}}}$

Étape 10

Placez le terme $64$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + 64 lim_{x \to 8} x^{2}}}$

Étape 11

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 lim_{x \to 8} x + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 \cdot 8 + 5 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}{1 + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 \cdot 8 + 5 \cdot 8^{2}}{1 + 64 {(lim_{x \to 8} x)}^{2}}}$

Étape 12.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 6 \cdot 8 + 5 \cdot 8^{2}}{1 + 64 \cdot 8^{2}}}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Multipliez $6$ par $8$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 48 + 5 \cdot 8^{2}}{1 + 64 \cdot 8^{2}}}$

Étape 13.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 48 + 5 \cdot 64}{1 + 64 \cdot 8^{2}}}$

Étape 13.3

Multipliez $5$ par $64$ .

$\sqrt[3]{\frac{3 + 48 + 320}{1 + 64 \cdot 8^{2}}}$

Étape 13.4

Additionnez $3$ et $48$ .

$\sqrt[3]{\frac{51 + 320}{1 + 64 \cdot 8^{2}}}$

Étape 13.5

Additionnez $51$ et $320$ .

$\sqrt[3]{\frac{371}{1 + 64 \cdot 8^{2}}}$

Étape 13.6

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{371}{1 + 64 \cdot 64}}$

Étape 13.7

Multipliez $64$ par $64$ .

$\sqrt[3]{\frac{371}{1 + 4096}}$

Étape 13.8

Additionnez $1$ et $4096$ .

$\sqrt[3]{\frac{371}{4097}}$

Étape 13.9

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{371}{4097}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{371}}{\sqrt[3]{4097}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{371}}{\sqrt[3]{4097}}$

Étape 13.10

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{371}}{\sqrt[3]{4097}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{\sqrt[3]{4097}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{371}}{\sqrt[3]{4097}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{\sqrt[3]{4097}}^{2}}$

Étape 13.11

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.11.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{371}}{\sqrt[3]{4097}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{\sqrt[3]{4097}}^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{\sqrt[3]{4097} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}$

Étape 13.11.2

Élevez $\sqrt[3]{4097}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{\sqrt[3]{4097}}^{1} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}$

Étape 13.11.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{\sqrt[3]{4097}}^{1 + 2}}$

Étape 13.11.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{\sqrt[3]{4097}}^{3}}$

Étape 13.11.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{4097}}^{3}$ comme $4097$ .

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Étape 13.11.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4097}$ comme $4097^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{{(4097^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 13.11.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{4097^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 13.11.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{4097^{\frac{3}{3}}}$

Étape 13.11.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.11.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{4097^{\frac{3}{3}}}$

Étape 13.11.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{4097^{1}}$

Étape 13.11.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt[3]{371} {\sqrt[3]{4097}}^{2}}{4097}$

Étape 13.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.12.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{4097}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{4097^{2}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{371} \sqrt[3]{4097^{2}}}{4097}$

Étape 13.12.2

Élevez $4097$ à la puissance $2$ .

$\frac{\sqrt[3]{371} \sqrt[3]{16785409}}{4097}$

Étape 13.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.13.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt[3]{371 \cdot 16785409}}{4097}$

Étape 13.13.2

Multipliez $371$ par $16785409$ .

$\frac{\sqrt[3]{6227386739}}{4097}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt[3]{6227386739}}{4097}$

Forme décimale :

$0.44905821 \dots$