Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \sqrt[5]{\frac{19 x^{7} + x^{10} - 73}{32 x^{10} - 17^{8} + 42}}$

Étape 1

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt[5]{lim_{x \to 8} \frac{19 x^{7} + x^{10} - 73}{32 x^{10} - 17^{8} + 42}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[5]{\frac{lim_{x \to 8} 19 x^{7} + x^{10} - 73}{lim_{x \to 8} 32 x^{10} - 17^{8} + 42}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[5]{\frac{lim_{x \to 8} 19 x^{7} + lim_{x \to 8} x^{10} - lim_{x \to 8} 73}{lim_{x \to 8} 32 x^{10} - 17^{8} + 42}}$

Étape 4

Placez le terme $19$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt[5]{\frac{19 lim_{x \to 8} x^{7} + lim_{x \to 8} x^{10} - lim_{x \to 8} 73}{lim_{x \to 8} 32 x^{10} - 17^{8} + 42}}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $7$ de $x^{7}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt[5]{\frac{19 {(lim_{x \to 8} x)}^{7} + lim_{x \to 8} x^{10} - lim_{x \to 8} 73}{lim_{x \to 8} 32 x^{10} - 17^{8} + 42}}$

Étape 6

Déplacez l’exposant $10$ de $x^{10}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt[5]{\frac{19 {(lim_{x \to 8} x)}^{7} + {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - lim_{x \to 8} 73}{lim_{x \to 8} 32 x^{10} - 17^{8} + 42}}$

Étape 7

Évaluez la limite de $73$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[5]{\frac{19 {(lim_{x \to 8} x)}^{7} + {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 1 \cdot 73}{lim_{x \to 8} 32 x^{10} - 17^{8} + 42}}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[5]{\frac{19 {(lim_{x \to 8} x)}^{7} + {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 1 \cdot 73}{lim_{x \to 8} 32 x^{10} - lim_{x \to 8} 17^{8} + lim_{x \to 8} 42}}$

Étape 9

Placez le terme $32$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt[5]{\frac{19 {(lim_{x \to 8} x)}^{7} + {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 1 \cdot 73}{32 lim_{x \to 8} x^{10} - lim_{x \to 8} 17^{8} + lim_{x \to 8} 42}}$

Étape 10

Déplacez l’exposant $10$ de $x^{10}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt[5]{\frac{19 {(lim_{x \to 8} x)}^{7} + {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 1 \cdot 73}{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - lim_{x \to 8} 17^{8} + lim_{x \to 8} 42}}$

Étape 11

Évaluez la limite de $17^{8}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[5]{\frac{19 {(lim_{x \to 8} x)}^{7} + {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 1 \cdot 73}{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 17^{8} + lim_{x \to 8} 42}}$

Étape 12

Évaluez la limite de $42$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[5]{\frac{19 {(lim_{x \to 8} x)}^{7} + {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 1 \cdot 73}{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 17^{8} + 42}}$

Étape 13

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 13.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt[5]{\frac{19 \cdot 8^{7} + {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 1 \cdot 73}{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 17^{8} + 42}}$

Étape 13.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt[5]{\frac{19 \cdot 8^{7} + 8^{10} - 1 \cdot 73}{32 {(lim_{x \to 8} x)}^{10} - 17^{8} + 42}}$

Étape 13.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt[5]{\frac{19 \cdot 8^{7} + 8^{10} - 1 \cdot 73}{32 \cdot 8^{10} - 17^{8} + 42}}$

Étape 14

Simplifiez la réponse.

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Étape 14.1

Élevez $8$ à la puissance $7$ .

$\sqrt[5]{\frac{19 \cdot 2097152 + 8^{10} - 1 \cdot 73}{32 \cdot 8^{10} - 17^{8} + 42}}$

Étape 14.2

Multipliez $19$ par $2097152$ .

$\sqrt[5]{\frac{39845888 + 8^{10} - 1 \cdot 73}{32 \cdot 8^{10} - 17^{8} + 42}}$

Étape 14.3

Élevez $8$ à la puissance $10$ .

$\sqrt[5]{\frac{39845888 + 1073741824 - 1 \cdot 73}{32 \cdot 8^{10} - 17^{8} + 42}}$

Étape 14.4

Multipliez $- 1$ par $73$ .

$\sqrt[5]{\frac{39845888 + 1073741824 - 73}{32 \cdot 8^{10} - 17^{8} + 42}}$

Étape 14.5

Additionnez $39845888$ et $1073741824$ .

$\sqrt[5]{\frac{1113587712 - 73}{32 \cdot 8^{10} - 17^{8} + 42}}$

Étape 14.6

Soustrayez $73$ de $1113587712$ .

$\sqrt[5]{\frac{1113587639}{32 \cdot 8^{10} - 17^{8} + 42}}$

Étape 14.7

Élevez $8$ à la puissance $10$ .

$\sqrt[5]{\frac{1113587639}{32 \cdot 1073741824 - 17^{8} + 42}}$

Étape 14.8

Multipliez $32$ par $1073741824$ .

$\sqrt[5]{\frac{1113587639}{34359738368 - 17^{8} + 42}}$

Étape 14.9

Élevez $17$ à la puissance $8$ .

$\sqrt[5]{\frac{1113587639}{34359738368 - 1 \cdot 6975757441 + 42}}$

Étape 14.10

Multipliez $- 1$ par $6975757441$ .

$\sqrt[5]{\frac{1113587639}{34359738368 - 6975757441 + 42}}$

Étape 14.11

Soustrayez $6975757441$ de $34359738368$ .

$\sqrt[5]{\frac{1113587639}{27383980927 + 42}}$

Étape 14.12

Additionnez $27383980927$ et $42$ .

$\sqrt[5]{\frac{1113587639}{27383980969}}$

Étape 14.13

Réécrivez $\sqrt[5]{\frac{1113587639}{27383980969}}$ comme $\frac{\sqrt[5]{1113587639}}{\sqrt[5]{27383980969}}$ .

$\frac{\sqrt[5]{1113587639}}{\sqrt[5]{27383980969}}$

Étape 14.14

Multipliez $\frac{\sqrt[5]{1113587639}}{\sqrt[5]{27383980969}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{{\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}$ .

$\frac{\sqrt[5]{1113587639}}{\sqrt[5]{27383980969}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{{\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}$

Étape 14.15

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.15.1

Multipliez $\frac{\sqrt[5]{1113587639}}{\sqrt[5]{27383980969}}$ par $\frac{{\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{{\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}$ .

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{\sqrt[5]{27383980969} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}$

Étape 14.15.2

Élevez $\sqrt[5]{27383980969}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{{\sqrt[5]{27383980969}}^{1} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}$

Étape 14.15.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{{\sqrt[5]{27383980969}}^{1 + 4}}$

Étape 14.15.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{{\sqrt[5]{27383980969}}^{5}}$

Étape 14.15.5

Réécrivez ${\sqrt[5]{27383980969}}^{5}$ comme $27383980969$ .

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Étape 14.15.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{27383980969}$ comme $27383980969^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{{(27383980969^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Étape 14.15.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{27383980969^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Étape 14.15.5.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $5$ .

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{27383980969^{\frac{5}{5}}}$

Étape 14.15.5.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 14.15.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{27383980969^{\frac{5}{5}}}$

Étape 14.15.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{27383980969^{1}}$

Étape 14.15.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} {\sqrt[5]{27383980969}}^{4}}{27383980969}$

Étape 14.16

Réécrivez ${\sqrt[5]{27383980969}}^{4}$ comme $\sqrt[5]{27383980969^{4}}$ .

$\frac{\sqrt[5]{1113587639} \sqrt[5]{27383980969^{4}}}{27383980969}$

Étape 14.17

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt[5]{1113587639 \cdot 27383980969^{4}}}{27383980969}$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt[5]{1113587639 \cdot 27383980969^{4}}}{27383980969}$

Forme décimale :

$0.52704241 \dots$