Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 - \sqrt{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - \sqrt{25 - 6 x + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{25 - 6 x + x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{25 - 6 x + x^{2}}]$

Étape 1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{25 - 6 x + x^{2}}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{25 - 6 x + x^{2}}]$ .

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Étape 1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{25 - 6 x + x^{2}}$ comme ${(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 25 - 6 x + x^{2}$ .

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Étape 1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $25 - 6 x + x^{2}$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [25 - 6 x + x^{2}])$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - 6 x + x^{2}])$

Étape 1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $25 - 6 x + x^{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [25 - 6 x + x^{2}])$

Étape 1.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $25 - 6 x + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Étape 1.2.5

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Étape 1.2.6

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Étape 1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Étape 1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x))$

Étape 1.2.9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x))$

Étape 1.2.10

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x))$

Étape 1.2.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x))$

Étape 1.2.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.12.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x))$

Étape 1.2.12.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x))$

Étape 1.2.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x))$

Étape 1.2.14

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 6 + 2 x))$

Étape 1.2.15

Soustrayez $6$ de $0$ .

$0 - (\frac{1}{2} {(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 6 + 2 x))$

Étape 1.2.16

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 - (\frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 6 + 2 x))$

Étape 1.2.17

Placez ${(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 6 + 2 x)$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Soustrayez $\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 6 + 2 x)$ de $0$ .

$- \frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 6 + 2 x)$

Étape 1.3.2

Réorganisez les facteurs de $- \frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 6 + 2 x)$ .

$- (- 6 + 2 x) \frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$(- - 6 - (2 x)) \frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$(6 - (2 x)) \frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(6 - 2 x) \frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.3.6

Multipliez $6 - 2 x$ par $\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6 - 2 x}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.3.7

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3 - 2 x}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.3.8

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$\frac{2 \cdot 3 + 2 (- x)}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.3.9

Factorisez $2$ à partir de $2 (3) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (3 - x)}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.3.10

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.10.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (3 - x)}{2 ({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 1.3.10.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 - x)}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.3.10.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 - x}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 3 - x$ et $g (x) = {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x) - (3 - x) \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x) - (3 - x) \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x) - (3 - x) \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x) - (3 - x) \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.3

Simplifiez

$f'' (x) = \frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (3 - x) - (3 - x) \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- x)) - (3 - x) \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.4.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- x)) - (3 - x) \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x) - (3 - x) \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d x} x) - (3 - x) \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 1) - (3 - x) \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 - (3 - x) \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.4.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de ${(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.4.6.3

Réécrivez $- 1 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ comme $- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 25 - 6 x + x^{2}$ .

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Étape 2.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $25 - 6 x + x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $25 - 6 x + x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.7

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.9.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.10

Associez les fractions.

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Étape 2.10.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2} \cdot {(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.10.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.10.3

Placez ${(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $25 - 6 x + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (25) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (x^{2})))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.12

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (x^{2})))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.13

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (x^{2})))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.14

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (x^{2})))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (x^{2})))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.16

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 6 + \frac{d}{d x} (x^{2})))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - (3 - x) (\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 6 + 2 x))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18

Simplifiez

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Étape 2.18.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot 3 + x) (\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 6 + 2 x))}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.18.2.1

Laissez $u_{2} = {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ . Remplacez toutes les occurrences de ${(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(3 - x - u_{2}) (3 - x + u_{2})}{u_{2}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par ${(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{(3 - x - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (3 - x + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3

Simplifiez

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Étape 2.18.2.3.1

Développez $(3 - x - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) (3 - x + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$f'' (x) = \frac{\frac{3 \cdot 3 + 3 (- x) + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \cdot 3 - x (- x) - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x) - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.18.2.3.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 + 3 (- x) + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \cdot 3 - x (- x) - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x) - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \cdot 3 - x (- x) - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x) - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.2.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x - x (- x) - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x) - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x) - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.2.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.18.2.3.2.5.1

Déplacez $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x) - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.2.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x - 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x) - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.2.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + 1 x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x) - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.2.7

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x) - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.2.8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- x) - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.2.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot (- 1 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x) - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.2.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.2.11

Multipliez ${(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.2.12

Multipliez ${(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par ${(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.18.2.3.2.12.1

Déplacez ${(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - ({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.2.12.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.2.12.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.2.12.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.2.12.5

Divisez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - (25 - 6 x + x^{2})}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.2.13

Simplifiez $- {(25 - 6 x + x^{2})}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - (25 - 6 x + x^{2})}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.2.14

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 1 \cdot 25 - (- 6 x) - x^{2}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.2.15

Simplifiez

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Étape 2.18.2.3.2.15.1

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 25 - (- 6 x) - x^{2}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.2.15.2

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 25 + 6 x - x^{2}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.3

Associez les termes opposés dans $9 - 3 x + 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 25 + 6 x - x^{2}$ .

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Étape 2.18.2.3.3.1

Soustrayez $3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ de $3 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 0 + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 25 + 6 x - x^{2}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.3.2

Additionnez $9 - 3 x - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x - 25 + 6 x - x^{2}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.3.3

Réorganisez les facteurs dans les termes $- x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ et ${(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x - 3 x + x^{2} - x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 25 + 6 x - x^{2}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.3.4

Additionnez $- x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ et $x {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x - 3 x + x^{2} + 0 - 25 + 6 x - x^{2}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.3.5

Additionnez $9 - 3 x - 3 x + x^{2}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x - 3 x + x^{2} - 25 + 6 x - x^{2}}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.3.6

Soustrayez $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x - 3 x - 25 + 6 x + 0}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.3.7

Additionnez $9 - 3 x - 3 x - 25 + 6 x$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{9 - 3 x - 3 x - 25 + 6 x}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.4

Soustrayez $25$ de $9$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 3 x - 3 x - 16 + 6 x}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.5

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 6 x - 16 + 6 x}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.6

Associez les termes opposés dans $- 6 x - 16 + 6 x$ .

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Étape 2.18.2.3.6.1

Additionnez $- 6 x$ et $6 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{0 - 16}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.3.6.2

Soustrayez $16$ de $0$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 16}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{- \frac{16}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.3

Associez des termes.

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Étape 2.18.3.1

Réécrivez $\frac{- \frac{16}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{25 - 6 x + x^{2}}$ comme un produit.

$f'' (x) = - \frac{16}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{25 - 6 x + x^{2}}$

Étape 2.18.3.2

Multipliez $\frac{1}{25 - 6 x + x^{2}}$ par $\frac{16}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{(25 - 6 x + x^{2}) {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.18.3.3

Multipliez $25 - 6 x + x^{2}$ par ${(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.18.3.3.1

Multipliez $25 - 6 x + x^{2}$ par ${(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.18.3.3.1.1

Élevez $25 - 6 x + x^{2}$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{(25 - 6 x + x^{2}) {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.18.3.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - \frac{16}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 2.18.3.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{16}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 2.18.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f'' (x) = - \frac{16}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 2.18.3.3.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$f'' (x) = - \frac{16}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{3 - x}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - \sqrt{25 - 6 x + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{25 - 6 x + x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- \sqrt{25 - 6 x + x^{2}})$

Étape 4.1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sqrt{25 - 6 x + x^{2}})$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{25 - 6 x + x^{2}}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{25 - 6 x + x^{2}}$ comme ${(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 4.1.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$f' (x) = 0 - \frac{d}{d x} {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 25 - 6 x + x^{2}$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $25 - 6 x + x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))$

Étape 4.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))$

Étape 4.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $25 - 6 x + x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (25 - 6 x + x^{2}))$

Étape 4.1.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $25 - 6 x + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot ({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} (25) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (x^{2}))))$

Étape 4.1.2.5

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot ({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (x^{2}))))$

Étape 4.1.2.6

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot ({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (x^{2}))))$

Étape 4.1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot ({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (x^{2}))))$

Étape 4.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot ({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x)))$

Étape 4.1.2.9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot ({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x)))$

Étape 4.1.2.10

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot ({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x)))$

Étape 4.1.2.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot ({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x)))$

Étape 4.1.2.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.12.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot ({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x)))$

Étape 4.1.2.12.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot ({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x)))$

Étape 4.1.2.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot ({(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 6 \cdot 1 + 2 x)))$

Étape 4.1.2.14

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot ({(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 6 + 2 x)))$

Étape 4.1.2.15

Soustrayez $6$ de $0$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{1}{2} \cdot ({(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 6 + 2 x)))$

Étape 4.1.2.16

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{{(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot (- 6 + 2 x))$

Étape 4.1.2.17

Placez ${(25 - 6 x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 6 + 2 x)$

Étape 4.1.3

Simplifiez

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Étape 4.1.3.1

Soustrayez $\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 6 + 2 x)$ de $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 6 + 2 x)$

Étape 4.1.3.2

Réorganisez les facteurs de $- \frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 6 + 2 x)$ .

$f' (x) = - (- 6 + 2 x) \frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = (6 - (2 x)) (\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$f' (x) = (6 - (2 x)) (\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.1.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = (6 - 2 x) (\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 4.1.3.6

Multipliez $6 - 2 x$ par $\frac{1}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{6 - 2 x}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.3.7

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 3 - 2 x}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.3.8

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot 3 + 2 (- x)}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.3.9

Factorisez $2$ à partir de $2 (3) + 2 (- x)$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 - x)}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.3.10

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.3.10.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 - x)}{2 ({(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 4.1.3.10.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{2 (3 - x)}{2 {(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.3.10.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{3 - x}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{3 - x}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 - x}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{3 - x}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{3 - x}{{(25 - 6 x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$3 - x = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3$

Étape 5.3.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 5.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x = 3$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 3$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 3$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{16}{{(25 - 6 \cdot 3 + {(3)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1.1

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$- \frac{16}{{(25 - 18 + 3^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{16}{{(25 - 18 + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.2

Soustrayez $18$ de $25$ .

$- \frac{16}{{(7 + 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.3

Additionnez $7$ et $9$ .

$- \frac{16}{16^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.4

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$- \frac{16}{{(4^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 9.1.5

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{16}{4^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 9.1.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{16}{4^{2 (\frac{3}{2})}}$

Étape 9.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{16}{4^{3}}$

Étape 9.1.7

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$- \frac{16}{64}$

Étape 9.2

Annulez le facteur commun à $16$ et $64$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $16$ à partir de $16$ .

$- \frac{16 (1)}{64}$

Étape 9.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.2.1

Factorisez $16$ à partir de $64$ .

$- \frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

Étape 9.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4}$

Étape 9.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{4}$

Étape 10

$x = 3$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 3$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 3$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = 2 - \sqrt{25 - 6 \cdot 3 + {(3)}^{2}}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$f (3) = 2 - \sqrt{25 - 18 + {(3)}^{2}}$

Étape 11.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = 2 - \sqrt{25 - 18 + 9}$

Étape 11.2.1.3

Soustrayez $18$ de $25$ .

$f (3) = 2 - \sqrt{7 + 9}$

Étape 11.2.1.4

Additionnez $7$ et $9$ .

$f (3) = 2 - \sqrt{16}$

Étape 11.2.1.5

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$f (3) = 2 - \sqrt{4^{2}}$

Étape 11.2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (3) = 2 - 1 \cdot 4$

Étape 11.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f (3) = 2 - 4$

Étape 11.2.2

Soustrayez $4$ de $2$ .

$f (3) = - 2$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$y = - 2$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 2 - \sqrt{25 - 6 x + x^{2}}$ .

$(3, - 2)$ est un maximum local

Étape 13