Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{x - \frac{π}{2}}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}}$

Étape 1.2

Associez $x$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}}$

Étape 1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x))}{\frac{x \cdot 2 - π}{2}}$

Étape 2

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} \ln (\sin (x)) \frac{2}{x \cdot 2 - π}$

Étape 2.2

Associez $\ln (\sin (x))$ et $\frac{2}{x \cdot 2 - π}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

Étape 3

Définissez la limite comme une limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant la valeur de la variable.

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $\frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\ln (\sin (0)) \cdot 2}{0 \cdot 2 - π}$

Étape 4.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{0 \cdot 2 - π}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Multipliez $0$ par $2$ .

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{0 - π}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $π$ de $0$ .

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{- π}$

Étape 4.3.3

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{- π}$

Étape 4.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{\ln (0) \cdot 2}{- 1 (1) π}$

Étape 4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\ln (0) \cdot 2}{(1) π}$

Étape 4.6

Comme $- \frac{\ln (0) \cdot 2}{(1) π}$ est indéfini, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$

Étape 5

Définissez la limite comme une limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\sin (x)) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

Étape 6

Évaluez la limite côté droit.

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Étape 6.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sin (x)) \cdot 2}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - π}$

Étape 6.2

Comme la fonction $\ln (\sin (x))$ approche de $- \infty$ , la constante positive $2$ fois la fraction approche également de $- \infty$ .

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Étape 6.2.1

Étudiez la limite avec le multiple constant $2$ retiré.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\sin (x))}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - π}$

Étape 6.2.2

Lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit, $\ln (\sin (x))$ diminue sans borne.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - π}$

Étape 6.3

Évaluez la limite.

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Étape 6.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} x \cdot 2 - lim_{x \to 0^{+}} π}$

Étape 6.3.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- \infty}{2 lim_{x \to 0^{+}} x - lim_{x \to 0^{+}} π}$

Étape 6.3.3

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{- \infty}{2 lim_{x \to 0^{+}} x - π}$

Étape 6.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{- \infty}{2 \cdot 0 - π}$

Étape 6.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.5.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{- \infty}{0 - π}$

Étape 6.5.1.2

Soustrayez $π$ de $0$ .

$\frac{- \infty}{- π}$

Étape 6.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{- \infty}{π}$

Étape 6.5.3

L’infini divisé par toute valeur finie et non nulle est l’infini.

$- - \infty$

Étape 6.5.4

Une constante non nulle fois l’infini est l’infini.

$\infty$

Étape 7

Si l’une des limites d’un côté n’existe pas, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$