Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (π \cos (x))}{x \sin (x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} π \cos (x))}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez le terme $π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin (π lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (π \cos (0))}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{\sin (π \cdot 1)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2.3.2

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{\sin (π)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2.3.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2.3.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.4.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Étape 1.1.3.4.2

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (π \cos (x))}{x \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (π \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (π \cos (x))]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = π \cos (x)$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $π \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [π \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [π \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $π \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (π \cos (x)) \frac{d}{d x} [π \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.3

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π \cos (x)$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (π \cos (x)) (π \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (π \cos (x)) π (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.5

Réorganisez les facteurs de $\cos (π \cos (x)) π (- \sin (x))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- π \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- π \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.7

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- π \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- π \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1}$

Étape 1.3.9

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- π \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 2

Placez le terme $π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$π \frac{lim_{x \to 0} - \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$π \frac{- lim_{x \to 0} \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$π \frac{- lim_{x \to 0} \cos (π \cos (x)) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} π \cos (x)) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.2.4

Placez le terme $π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$π \frac{- \cos (π lim_{x \to 0} \cos (x)) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$π \frac{- \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.2.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$π \frac{- \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.2.7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.2.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$π \frac{- \cos (π \cos (0)) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.2.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$π \frac{- \cos (π \cos (0)) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.2.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.8.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$π \frac{- \cos (π \cdot 1) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.2.8.2

Multipliez $π$ par $1$ .

$π \frac{- \cos (π) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.2.8.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$π \frac{- - 1 \cos (0) \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.2.8.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$π \frac{- - 1 \cdot 1 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.2.8.5

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 3.1.2.8.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$π \frac{- - 1 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.2.8.5.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$π \frac{1 \cdot \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.2.8.6

Multipliez $\sin (0)$ par $1$ .

$π \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.2.8.7

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$π \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$π \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 3.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$π \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 3.1.3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$π \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 3.1.3.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$π \frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$π \frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3.1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$π \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3.1.3.5.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$π \frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (0)}$

Étape 3.1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.6.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$π \frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (0)}$

Étape 3.1.3.6.1.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$π \frac{0}{0 + \sin (0)}$

Étape 3.1.3.6.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$π \frac{0}{0 + 0}$

Étape 3.1.3.6.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$π \frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.6.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$π \frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$π \frac{0}{0}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$π \frac{0}{0}$

Étape 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{- \cos (π \cos (x)) \sin (x)}{x \cos (x) + \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \cos (π \cos (x)) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$π lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- \cos (π \cos (x)) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (π \cos (x)) \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (π \cos (x)) \sin (x)]$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \frac{d}{d x} [\cos (π \cos (x)) \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (π \cos (x))$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (π \cos (x))])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (π \cos (x))])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = π \cos (x)$ .

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Étape 3.3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $π \cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.5.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (u) \frac{d}{d x} [π \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $π \cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (π \cos (x)) \frac{d}{d x} [π \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.6

Comme $π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $π \cos (x)$ par rapport à $x$ est $π \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (π \cos (x)) π \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.7

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \cdot - 1 \sin (π \cos (x)) π \cdot - 1 \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.8

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 \sin (π \cos (x)) π \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.9

Multipliez $\sin (π \cos (x))$ par $1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \sin (π \cos (x)) π \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.10

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x) \sin (π \cos (x)) π)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.11

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \sin (π \cos (x)) π)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} \sin (π \cos (x)) π)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.13

Additionnez $1$ et $1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- (\cos (π \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x)) π)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.14

Simplifiez

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Étape 3.3.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (π \cos (x)) \cos (x) - \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x)) π}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.14.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 3.3.15

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \cos (x) + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.3.16

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

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Étape 3.3.16.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.3.16.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.3.16.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.3.16.4

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 3.3.17

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) + \cos (x)}$

Étape 3.3.18

Simplifiez

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Étape 3.3.18.1

Additionnez $\cos (x)$ et $\cos (x)$ .

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{x \cdot - 1 \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 3.3.18.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$π lim_{x \to 0} \frac{- \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{- x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$π \frac{lim_{x \to 0} - \cos (x) \cos (π \cos (x)) - π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 4.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$π \frac{- lim_{x \to 0} \cos (x) \cos (π \cos (x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$π \frac{- lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (π \cos (x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 4.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (π \cos (x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 4.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} π \cos (x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 4.6

Placez le terme $π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π lim_{x \to 0} \cos (x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 4.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - lim_{x \to 0} π \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 4.8

Placez le terme $π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 4.9

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 4.10

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 4.11

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 4.12

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} π \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 4.13

Placez le terme $π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π lim_{x \to 0} \cos (x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 4.14

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 4.15

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Étape 4.16

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Étape 4.17

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$π \frac{- \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Étape 4.18

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

Étape 4.19

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (lim_{x \to 0} x)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 5.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (lim_{x \to 0} x))}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 5.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 5.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 5.6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 5.7

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$π \frac{- \cos (0) \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot 1 \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot \cos (π \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot \cos (π \cdot 1) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6.1.4

Multipliez $π$ par $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot \cos (π) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6.1.5

$π \frac{- 1 \cdot (- \cos (0)) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6.1.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot (- 1 \cdot 1) - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6.1.7

Multipliez $- 1 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 6.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$π \frac{- 1 \cdot - 1 - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6.1.7.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$π \frac{1 - π \sin^{2} (0) \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6.1.8

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$π \frac{1 - π \cdot 0^{2} \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6.1.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$π \frac{1 - π \cdot 0 \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6.1.10

Multipliez $- π \cdot 0$ .

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Étape 6.1.10.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$π \frac{1 + 0 π \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6.1.10.2

Multipliez $0$ par $π$ .

$π \frac{1 + 0 \cdot \sin (π \cos (0))}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6.1.11

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$π \frac{1 + 0 \cdot \sin (π \cdot 1)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6.1.12

Multipliez $π$ par $1$ .

$π \frac{1 + 0 \cdot \sin (π)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6.1.13

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$π \frac{1 + 0 \cdot \sin (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6.1.14

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$π \frac{1 + 0 \cdot 0}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6.1.15

Multipliez $0$ par $0$ .

$π \frac{1 + 0}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6.1.16

Additionnez $1$ et $0$ .

$π \frac{1}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$π \frac{1}{0 \cdot 0 + 2 \cos (0)}$

Étape 6.2.2

Multipliez $0$ par $0$ .

$π \frac{1}{0 + 2 \cos (0)}$

Étape 6.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$π \frac{1}{0 + 2 \cdot 1}$

Étape 6.2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$π \frac{1}{0 + 2}$

Étape 6.2.5

Additionnez $0$ et $2$ .

$π \frac{1}{2}$

Étape 6.3

Associez $π$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π}{2}$

Forme décimale :

$1.57079632 \dots$