Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} (\frac{\tan (2 x)}{x^{3}}) + \frac{2}{x^{2}} + \frac{\sin (x)}{x}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{\sin (x)}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x^{3}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{x}$ par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x \cdot x^{2}}$

Étape 1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x^{1} x^{2}}$

Étape 1.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0} \frac{2}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x^{1 + 2}}$

Étape 1.2.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x)}{x^{3}} + \frac{\sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

Étape 1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{2}{x^{2}} + \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2}{x^{2}} + lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

Étape 3

Comme le numérateur est une constante et le dénominateur approche de $0$ lorsque $x$ approche de $0$ , la fraction $\frac{2}{x^{2}}$ approche de l’infini.

$\infty + lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}}$

Étape 4

Comme $\frac{\tan (2 x) - x^{2}}{x^{3}} \leq \frac{\tan (2 x) + \sin (x) x^{2}}{x^{3}} \leq \frac{\tan (2 x) + 1 x^{2}}{x^{3}}$ et $lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) - x^{2}}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x) + 1 x^{2}}{x^{3}} = \infty$ , appliquez le théorème des gendarmes.

$\infty + \infty$

Étape 5

L’infini plus l’infini est l’infini.

$\infty$