Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{a^{m x} - 1}{a^{n x} - 1}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} a^{m x} - 1}{lim_{x \to 0} a^{n x} - 1}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} a^{m x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} a^{n x} - 1}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{a^{lim_{x \to 0} m x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} a^{n x} - 1}$

Étape 1.1.2.1.3

Placez le terme $m$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{a^{m lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} a^{n x} - 1}$

Étape 1.1.2.1.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{a^{m lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} a^{n x} - 1}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{a^{m \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} a^{n x} - 1}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Multipliez $m$ par $0$ .

$\frac{a^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} a^{n x} - 1}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} a^{n x} - 1}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} a^{n x} - 1}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} a^{n x} - 1}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} a^{n x} - lim_{x \to 0} 1}$

Étape 1.1.3.1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{0}{a^{lim_{x \to 0} n x} - lim_{x \to 0} 1}$

Étape 1.1.3.1.3

Placez le terme $n$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{a^{n lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Étape 1.1.3.1.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{a^{n lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{a^{n \cdot 0} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Multipliez $n$ par $0$ .

$\frac{0}{a^{0} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{a^{m x} - 1}{a^{n x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [a^{m x} - 1]}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [a^{m x} - 1]}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a^{m x} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [a^{m x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [a^{m x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [a^{m x}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance généralisée qui indique que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ est $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ où $f = a$ et $g = m x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [a] (m x a^{m x - 1}) + \frac{d}{d x} [m x] (a^{m x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Étape 1.3.3.2

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 (m x a^{m x - 1}) + \frac{d}{d x} [m x] (a^{m x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Étape 1.3.3.3

Comme $m$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $m x$ par rapport à $x$ est $m \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 (m x a^{m x - 1}) + m \frac{d}{d x} [x] (a^{m x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Étape 1.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 (m x a^{m x - 1}) + m \cdot 1 (a^{m x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Étape 1.3.3.5

Multipliez $m$ par $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 (x a^{m x - 1}) + m \cdot 1 (a^{m x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Étape 1.3.3.6

Multipliez $x$ par $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 a^{m x - 1} + m \cdot 1 (a^{m x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Étape 1.3.3.7

Multipliez $0$ par $a^{m x - 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + m \cdot 1 (a^{m x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Étape 1.3.3.8

Multipliez $m$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + m (a^{m x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Étape 1.3.3.9

Additionnez $0$ et $m (a^{m x} \ln (a))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m (a^{m x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m (a^{m x} \ln (a)) + 0}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Étape 1.3.5

Simplifiez

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Étape 1.3.5.1

Additionnez $m (a^{m x} \ln (a))$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m (a^{m x} \ln (a))}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Étape 1.3.5.2

Réorganisez les facteurs de $m (a^{m x} \ln (a))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{a^{m x} m \ln (a)}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Étape 1.3.5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $a^{m x} m \ln (a)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{\frac{d}{d x} [a^{n x} - 1]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $a^{n x} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [a^{n x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{\frac{d}{d x} [a^{n x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [a^{n x}]$ .

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Étape 1.3.7.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance généralisée qui indique que $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ est $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ où $f = a$ et $g = n x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{\frac{d}{d x} [a] (n x a^{n x - 1}) + \frac{d}{d x} [n x] (a^{n x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.7.2

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $a$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{0 (n x a^{n x - 1}) + \frac{d}{d x} [n x] (a^{n x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.7.3

Comme $n$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $n x$ par rapport à $x$ est $n \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{0 (n x a^{n x - 1}) + n \frac{d}{d x} [x] (a^{n x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.7.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{0 (n x a^{n x - 1}) + n \cdot 1 (a^{n x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.7.5

Multipliez $n$ par $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{0 (x a^{n x - 1}) + n \cdot 1 (a^{n x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.7.6

Multipliez $x$ par $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{0 a^{n x - 1} + n \cdot 1 (a^{n x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.7.7

Multipliez $0$ par $a^{n x - 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{0 + n \cdot 1 (a^{n x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.7.8

Multipliez $n$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{0 + n (a^{n x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.7.9

Additionnez $0$ et $n (a^{n x} \ln (a))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{n (a^{n x} \ln (a)) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{n (a^{n x} \ln (a)) + 0}$

Étape 1.3.9

Simplifiez

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Étape 1.3.9.1

Additionnez $n (a^{n x} \ln (a))$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{n (a^{n x} \ln (a))}$

Étape 1.3.9.2

Réorganisez les facteurs de $n (a^{n x} \ln (a))$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{a^{n x} n \ln (a)}$

Étape 1.3.9.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $a^{n x} n \ln (a)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x} \ln (a)}{n a^{n x} \ln (a)}$

Étape 1.4

Réduisez.

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun à $a^{m x}$ et $a^{n x}$ .

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Étape 1.4.1.1

Factorisez $a^{n x}$ à partir de $m a^{m x} \ln (a)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{a^{n x} (m a^{m x - n x} \ln (a))}{n a^{n x} \ln (a)}$

Étape 1.4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1.2.1

Factorisez $a^{n x}$ à partir de $n a^{n x} \ln (a)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{a^{n x} (m a^{m x - n x} \ln (a))}{a^{n x} (n \ln (a))}$

Étape 1.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{a^{n x} (m a^{m x - n x} \ln (a))}{a^{n x} (n \ln (a))}$

Étape 1.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x - n x} \ln (a)}{n \ln (a)}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $\ln (a)$ .

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Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x - n x} \ln (a)}{n \ln (a)}$

Étape 1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{m a^{m x - n x}}{n}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{m}{n}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{m}{n} lim_{x \to 0} a^{m x - n x}$

Étape 2.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{m}{n} a^{lim_{x \to 0} m x - n x}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{m}{n} a^{lim_{x \to 0} m x - lim_{x \to 0} n x}$

Étape 2.4

Placez le terme $m$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{m}{n} a^{m lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} n x}$

Étape 2.5

Placez le terme $n$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{m}{n} a^{m lim_{x \to 0} x - n lim_{x \to 0} x}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{m}{n} a^{m \cdot 0 - n lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{m}{n} a^{m \cdot 0 - n \cdot 0}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $m$ par $0$ .

$\frac{m}{n} a^{0 - n \cdot 0}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- n \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$\frac{m}{n} a^{0 + 0 n}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $0$ par $n$ .

$\frac{m}{n} a^{0 + 0}$

Étape 4.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{m}{n} a^{0}$

Étape 4.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{m}{n} \cdot 1$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{m}{n}$ par $1$ .

$\frac{m}{n}$